Question

2xyLn(y)dx+(x^2+y^2 √(y^2+1))dy=0

Answer 1

Una ecuación equivalente es

$2x\ln y ~dx+\left(\dfrac{x^2}{y}+y\sqrt{y^2+1}\right)~dy=0$

que es es una EDO exacta. Pongamos que la solución de esta ecuación sea $f(x,y)=C$ (por ser edo exacta) entonces tenemos

$f_x(x,y)=2x\ln y ~~\wedge~~ f_y(x,y)=\dfrac{x^2}{y}+y\sqrt{y^2+1}\\\\\\f(x,y)=x^2\ln y+g(y)\to f_y(x,y)=\dfrac{x^2}{y}+g_y\\\\\\\to g_y=y\sqrt{y^2+1}\to g(y)=\dfrac{1}{3}(y^2+1)^{3/2}\\\\\\\text{Por ende la soluci\'on es:}\\\\\\x^2\ln y+\dfrac{1}{3}(y^2+1)^{3/2}=C$