Question

Alguien me ayuda? Gracias de antemano! ​

Answer 1

Tarea:

$f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=(x^{2}+2x+4)e^{x}$

 a) Calcula f'(x)

 b) Determina Lim x→0 ((f(x)-f(0))/x)

 c) Demuestre que la función f es creciente en R

Respuesta:

 a) f'(x) = (x²+4x+6)*e^x

 b) 6

 c) Verdadero.

Explicación paso a paso:

a) f(x) es un producto, recordemos que la derivada de un producto en forma (g(x)*h(x))' es g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x) y que la derivada de e^x es e^x

$f'(x)=(x^{2}+2x+4)'*e^{x}+ (x^{2}+2x+4)*(e^{x})'\\f'(x)=(2x+2)*e^{x}+(x^{2}+2x+4)*e^{x}$

Sacando factor común e^x

$f'(x)=((2x+2)+(x^{2}+2x+4))e^{x}\\f'(x)=(2x+2+x^{2}+2x+4)e^{x}\\f'(x)=(x^{2}+4x+6)e^{x}$

b) Para hallar el límite es conveniente hallar primero f(0):

f(0) = (0²+2(0)+4)*e⁰ = (0+0+4)*1 = 4 (no olvidar que todo número elevado a la potencia 0 es 1).

Ahora:

$\displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{f(x)-f(0)}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{(x^{2}+2x+4)*e^{x}-4}{x}}=\frac{(0^{2}+2(0)+4)*e^{0}-4}{0}=\frac{4*1-4}{0}$

Evaluar el límite resulta en una indeterminación de tipo 0/0, entonces hay que aplicar la regla de L'Hopital que no es más que derivar numerador y denominador y luego reevaluar el límite. Afortunadamente derivamos f(x) en el literal anterior y la derivada de una resta es la resta de sus derivadas, entonces la derivada del numerador está hecha ya y la del denominador es dx/dx=1.

$\displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{f(x)-f(0)}{x}}=\displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{(f(x)-f(0))'}{(x)'}}\\=\displaystyle\lim_{x \to 0}{\frac{(x^{2}+4x+6)e^{x}-0}{1}}=(0^{2}+4(0)+6)*e^{0}=6$

c) Para que la función sea creciente en un valor la derivada tiene que ser mayor que cero en ese valor y es fácil notar que para todo x ∈ R, f'(x) > 0. (Mirar gráfica adjunta)