6.- Se requiere fabricar una lata de conservas cilíndrica (con tapa) de 800 centímetros cúbicos de volumen. ¿Cuáles deben ser sus dimensiones para que se utilice el mínimo de metal posible? (No olvides plantear la función a optimizar, la del área del material, así como su gráfica.).
Respuestas
Para que el material utilizado sea el mínimo y obtengamos un cilindro con tapa de 800 centímetros cúbicos de Volumen las dimensiones deben ser: R= 9.28 cm y h= 2.95 cm.
Explicación paso a paso:
Para resolver éste ejercicio, vamos a utilizar la segunda derivada, para evaluar donde se hace mínima la función.
Primero vamos a determinar las ecuaciones y construir la función del área.
- Volumen = π*R²*h = 800 cm³
- área = b*h
Pero en éste caso la base del rectángulo va a ser igual al perímetro de la circunferencia de radio R:
b = 2π*R
al sustituir tenemos que:
área = (2πR)h
Despejamos h del volumen y tenemos:
π*R²*h = 800 cm³
h = 800/π*R²
Al sustituir "h" en el área tenemos la expresión del área en función del radio:
área = 2π*R*( 800/π*R²)
área = 1600π/R +πR²
Ahora procedemos a derivar:
- Primera derivada:
área' = -1600π/R²+2πR
- Igualando a cero la primera derivada tenemos:
0 = -1600π/R² +2πR
0=-800+R³
R= 9.28 cm.
- Segunda Derivada:
área'' = 1600π/R⁴+2π
- Evalúo la segunda derivada en R = 9.28 cm
área'' = 1600π/9.28 + 2π
área'' = 519.19 cm >0 ----> Por lo que en R = 9.28 hay un mínimo.
Ahora calculamos la altura:
h = 800/π*(9.28)²
h= 2.95 cm.
Entonces para que el material utilizado sea el mínimo posible el radio debe medir 9.28 cm y la altura debe ser de 2.95 cm.