Si observamos cierta cantidad inicial de sustancia o material radiactivo, al paso del tiempo se puede verificar un cambio en la cantidad de dicho material; esto quiere decir que un material radioactivo se desintegra inversamente proporcional a la cantidad presente.
Si desde un principio hay 50 Miligramos (mm) de un material radioactivo presente y pasadas dos horas se detalla que este material ha disminuido el 10% de su masa original , se solicita hallar:
a. Una fórmula para la masa del material radioactivo en cualquier momento t.
b. La masa después de 5 horas.
Respuestas
La desintegración del material radiactivo nos deja los siguientes resultados:
- La ecuación de desintegración es N(t) = 50·e^(-0.052t).
- Luego de 5 horas quedan 38.55 mg.
EXPLICACIÓN:
La ecuación para la desintegración de un material radiactivo viene dado como:
N(t) = N₀·e^(-k·t)
Ahora, sabemos que inicialmente hay una cantidad de 50 mg, y ademas que en 2 horas se redujo en un 10 %, entonces:
m(2h) = 0.90·(50 mg)
m(2h) = 45 mg → masa en 2 horas
a) Entonces, en 2 horas quedaban 45 mg, con esto buscando la constante 'k' de nuestra ecuación, tenemos:
N = (50 mg)· e^(-k·t)
45 mg = (50 mg)· e^(-k·2h)
0.90 = e^(-k·2h)
ln(0.90) = -k·(2h)
k = 0.052
Por tanto, nuestra ecuación de descomposición radiactiva será:
N(t) = 50·e^(-0.052t) → Ecuación de desintegración
b) Busquemos la masa luego de 5 horas.
N(5) = 50·e^(-0.052· 5h)
N(5) = 38.55 mg
Entonces, luego de 5 horas quedan 38.55 mg.
Mira otro ejercicio similar en este enlace brainly.lat/tarea/11536188.
Respuesta:
Por lo que el valor de la constante c, corresponde a: k=0,0526803
Por lo tanto, la masa después de 5 horas corresponde a: x(5)=40,5 mm
Explicación paso a paso:
Solución planteada:
a. Sea x(t); miligramos de material radiactivo en el instante inicial t
La ecuación corresponde a: dy/dx=+kx(t)
Transponiendo términos se tiene; dy/(x(t))=+kdt
Aplicando propiedades algebraicas tenemos: ∫dx/(x(t))= ∫kdx
Resolviendo las integrales se obtiene:
In (x(t))=-kdt-c.
Aplicando propiedades especiales de las integrales contemplamos que x(t)=-ce^(-kt)
Por tanto, ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en algunos momentos t
Cuando t=0; se tiene:
x(0)=50 ; Por ende,
50=c
Ahora bien, cuando t=2 Se tiene
x(0)=40; debido a que corresponde al porcentaje que se disminuyó pasadas dos horas en un 10%. Por lo que la expresión matemática en este caso correspondería así: 40=ce^(-2k) 45=40^e2k
Aplicando propiedades trigonométricas obtenemos:
-2k=In |45/40|
k=in|45/40|/(-2)
Por lo que el valor de la constante c, corresponde a: k=0,0526803
Es por ello, que ésta es la fórmula para la masa de un material radiactivo en cualquier momento t en este caso de aplicación. x(t)=45e-0,0526803t
Ahora bien, para hallar la masa después de 5 horas es: x(5)=45e-0,0526803(-5)
Observación: Debo multiplicarlo por -5, para que la expresión elevada a la e me quede de forma positiva y pueda resolver la situación.
Por lo tanto, la masa después de 5 horas corresponde a: x(5)=40,5 mm