Por favor resolver derivar estas dos funciones parametricas

Adjuntos:

F4BI4N: no entiendo la complejidad, em tienes que derivar cada componente respecto a t y la otra respecto a theta

mzambranoleo: si en x i en y

mzambranoleo: dx/dy

F4BI4N: tiene mas sentido que las derivadas sean (dx/dt , dy/dt) y (dx/dtheta,dy/dtheta)

mzambranoleo: si asi

mzambranoleo: la respuesta debe quedar asi como el la foto

F4BI4N: mm ya, entonces lo que haría sería derivar cada componente, dy/dt , dx/dt y luego dividir las expresiones para obtener dy/dx -

mzambranoleo: si pero no me sale la misma respuesta

F4BI4N: revisalo, tienes que reordenar los términos para que te dé, es difícil llegar de unas al resultado de la pauta, el resultado debe estar correcto pero desordenado..

Respuestas

Respuesta dada por: roycroos

RESPUESTA

Hola!! :D

Recuerda que para derivar paramétricamente una función usaremos

$\boxed{\mathbf{\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\frac{dy}{dt} }{\frac{dx}{dt}}}}$

Ojo. La fórmula de arriba se demuestra usando regla de la cadena

Entonces

$* x = \dfrac{t}{t^2 -1} \Rightarrow \boldsymbol{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{(t^{2}-1)t'-(t^2-1)'t}{(t^2-1)^2} = \dfrac{t^2-1-(2t^2)}{(t^2-1)^2}=\boldsymbol{\dfrac{-t^2-1}{(t^2-1)^2}}\\\\\\*y= \dfrac{t^2+1}{t+1} \Rightarrow \boldsymbol{\dfrac{dy}{dt}} =\dfrac{(t^{2}+1)'(t+1)-(t^2+1)(t+1)'}{(t+1)^2} = \boldsymbol{\dfrac{t^2+2t-1}{(t+1)^2}}$

Entonces reemplazando en dy/dx obtenemos

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\frac{dy}{dt} }{\frac{dx}{dt}}\\\\\\\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{t^2+2t-1}{(t+1)^2}}{\dfrac{-t^2-1}{(t^2-1)^2}}\\\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{(t^2+2t-1)(t^2-1)^2}{(-t^2-1)(t+1)^2}}}}}$

$* x = \cos(\dfrac{\theta}{2}) \Rightarrow \boldsymbol{\dfrac{dx}{d\theta} = -\dfrac{1}{2}\sin(\dfrac{\theta}{2}) }\\\\\\ *y =\sin(2\theta) \Rightarrow \boldsymbol{\dfrac{dy}{dt} = 2\cos(2\theta)}$

Entonces reemplazando en dy/dx obtenemos

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\frac{dy}{dt} }{\frac{dx}{dt}}\\\\\\\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2\cos(2\theta)}{ -\dfrac{1}{2}\sin(\dfrac{\theta}{2})}\\\\\\\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{4\cos(2\theta)}{ \sin(\dfrac{\theta}{2})}\\\\\\\boxed{\boxed{\boldsymbol{\dfrac{dy}{dx} =-\csc(\dfrac{\theta}{2})(4-8\cos^{2}(\theta))}}}$