Question

Cuantos términ se han tomado en una progresión geométrica sabiendo que el primero es 7 el ultimo 448 y su suma 889

Answer 1

Buenas,

Primero tengamos claro la progresión geométrica, en este caso los números de la progresión de van amplificando por la razón, así, el término general de la progresión está dado por :

$a_{n} = a_1 \cdot r^{n-1}$

Donde,

$a_n \rightarrow \text{es el n-\'esimo t\'ermino de la progresi\'on. }\\a_{1} \rightarrow \text{es el primer t\'ermino de la progresi\'on.}\\r \rightarrow \text{es la raz\'on de la progresi\'on. }\\n \rightarrow \text{es la cantidad de t\'erminos de la progresi\'on. }$

Nos piden calcular n que corresponde a la cantidad de términos tomados de la progresión, nos dan a₁ y nos dicen que $a_{n} = 448$ y que la suma de los n primeros términos son 889.

Pues bien, sustituyamos los datos en el término general :

$a_{n} = a_1 \cdot r^{n-1} \\\\448 = 7 \cdot r^{n-1}\\\\\frac{448}{7} = r^{n-1}\\\\ \boxed{r^{n-1} = 64}$

Ya tenemos una expresión para r y n , ahora utilicemos el dato de la suma. La suma de los n términos se define como :

$S_{n} = a_{1}\frac{r^{n} -1}{r - 1}$

Sabemos que la suma de todos los elementos es 889 y el valor del primer término, por lo tanto :

$889 = 7 \cdot \frac{r^{n} -1}{r - 1}\\\\\frac{889}{7} = \frac{r^{n} -1}{r - 1}\\\\127(r-1) = r^{n} -1 \\\\127r - 127 = r^{n} - 1 \\ \\r^{n} - 127r + 126 = 0$

Perfecto, tenemos otra expresión. Fíjate que hay un término similar, podemos hacer aparecer el término que encontramos con la ecuación del término general. Hagamos lo siguiente, dividamos la ecuación por r :

$(r^{n} - 127r + 126 = 0)\ \div r \ \text{y} \ r \neq 0 \\ \\\\r^{n-1} - 127 + \frac{126}{r} = 0 \\ \\\text{Sabemos que } r^{n-1} = 64 \text{, entonces sustituimos:} \\ \\64 - 127 - \frac{126}{r} = 0 \\ \\\frac{126}{r} = 63 \\ \\\boxed{r = \frac{126}{63} = 2}$

Bien, conocida la razón de la progresión geométrica, nuevamente utilizamos la ecuación obtenida con el término general :

$r^{n-1} = 64 \\\\2^{n-1} = 2^{6} \\\\\ \text{Igualamos exponentes:}\\ \\n - 1 = 6 \\\\\boxed{n = 7}\\\\\therefor \textbf{R: Se han tomado 7 t\'erminos de la progresi\'on geom\'etrica.}$