Question

Sobre una partıcula puntual libre de masa m actua una fuerza F(t) = F0 sen(ωt). Hallar como cambia la distancia con el tiempo. Suponer las condiciones iniciales v(0) = v0 y x(0) = 0.

Answer 1

La partícula puntual libre cambia la distancia con respecto al tiempo siguiendo la ecuación: x(t) = (-F₀/m·ω²)·Sen(ωt) + F₀·t/m·ω.

EXPLICACIÓN:

Sabemos que la aceleración es una relación entre masa y fuerza, esto gracias a la ley de Newton, entonces:

F = m·a

a = F/m

Entonces, teniendo esto en cuenta procedemos a encontrar la ecuación de aceleración:

a = F(t)/m

a(t) = (F₀/m)·Sen(ωt)

Ahora, por definición la velocidad es la integral de la aceleración, es decir:

v = ∫a(t) dt

Buscamos la ecuación de velocidad, tenemos:

v = ∫F₀/m·Sen(ωt) dt

Integramos y tenemos que:

v(t) = (-F₀/m·ω)·Cos(ωt) + C₁

Aplicamos la condición para encontrar el valor de la constante, tenemos que v(0) = 0, entonces:

0 = (-F₀/m·ω)·Cos(ω·0) + C₁

C₁ = F₀/m·ω

Entonces, la ecuación de velocidad será:

v(t) = (-F₀/m·ω)·Cos(ωt) + F₀/m·ω

Ahora, volvemos a integrar para encontrar la ecuación de posición, tenemos:

x(t) = ∫v(t) dt

x(t) = ∫(-F₀/m·ω)·Cos(ωt) + F₀/m·ω dt

x(t) = (-F₀/m·ω²)·Sen(ωt) + F₀·t/m·ω + C₂

Buscamos la constante aplicando la condición x(0) = 0, entonces:

0 = (-F₀/m·ω²)·Sen(ω·0) + F₀·0/m·ω + C₂

C₂ = 0

Entonces, la distancia cambia respecto al tiempo con la siguiente ecuación:

x(t) = (-F₀/m·ω²)·Sen(ωt) + F₀·t/m·ω