Sobre una partıcula puntual libre de masa m actua una fuerza F(t) = F0 sen(ωt). Hallar como cambia la distancia con el tiempo. Suponer las condiciones iniciales v(0) = v0 y x(0) = 0.
Respuestas
La partícula puntual libre cambia la distancia con respecto al tiempo siguiendo la ecuación: x(t) = (-F₀/m·ω²)·Sen(ωt) + F₀·t/m·ω.
EXPLICACIÓN:
Sabemos que la aceleración es una relación entre masa y fuerza, esto gracias a la ley de Newton, entonces:
F = m·a
a = F/m
Entonces, teniendo esto en cuenta procedemos a encontrar la ecuación de aceleración:
a = F(t)/m
a(t) = (F₀/m)·Sen(ωt)
Ahora, por definición la velocidad es la integral de la aceleración, es decir:
v = ∫a(t) dt
Buscamos la ecuación de velocidad, tenemos:
v = ∫F₀/m·Sen(ωt) dt
Integramos y tenemos que:
v(t) = (-F₀/m·ω)·Cos(ωt) + C₁
Aplicamos la condición para encontrar el valor de la constante, tenemos que v(0) = 0, entonces:
0 = (-F₀/m·ω)·Cos(ω·0) + C₁
C₁ = F₀/m·ω
Entonces, la ecuación de velocidad será:
v(t) = (-F₀/m·ω)·Cos(ωt) + F₀/m·ω
Ahora, volvemos a integrar para encontrar la ecuación de posición, tenemos:
x(t) = ∫v(t) dt
x(t) = ∫(-F₀/m·ω)·Cos(ωt) + F₀/m·ω dt
x(t) = (-F₀/m·ω²)·Sen(ωt) + F₀·t/m·ω + C₂
Buscamos la constante aplicando la condición x(0) = 0, entonces:
0 = (-F₀/m·ω²)·Sen(ω·0) + F₀·0/m·ω + C₂
C₂ = 0
Entonces, la distancia cambia respecto al tiempo con la siguiente ecuación:
x(t) = (-F₀/m·ω²)·Sen(ωt) + F₀·t/m·ω