Respuestas
Respuesta:
Explicación paso a paso:
Valor máximo relativo:
Se dice que la función f tiene un valor máximo relativo en un punto c, si c pertenece a (a, b), tal que f(c) >= f(x) para todo x perteneciente a (a, b). El valor máximo relativo de f en (a, b) es d = f(c).
Valor mínimo relativo
Se dice que la función f tiene un valor mínimo relativo en un punto c, si c pertenece a (a, b), tal que f(c) <= f(x) para todo x perteneciente a (a, b). El valor mínimo relativo de f en (a, b) es d = f(c).
Aplicación a la identificación de máximos y mínimos:
Si f'(x0) = 0 y existe f''(x0), entonces:
f''(x0) > 0 => f tiene un mínimo relativo en x0.
f''(x0) < 0 => f tiene un máximo relativo en x0.
Cálculo de máximos y mínimos relativos de una función f(x) en un intervalo [a, b]:
Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces.
Realizamos las segunda derivada, y calculamos el signo que toman en ella las raíces de la derivada primera, y si:
f''(a) < 0 es un máximo relativo
f''(a) > 0 es un mínimo relativo
Se comprueba si el punto inicial del intervalo "a" y el punto final del mismo "b", son máximos o mínimos relativos.
Si hay algún punto de [a, b] en el que la función no sea derivable, aunque sí continua, calcularemos, además, el valor de f en ese punto, pues podría ser un extremo.
Si f no es continua en algún punto x0 de [a, b], estudiaremos el comportamiento de la función en las cercanías de x0.
Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos.
Ejercicios propuestos:
Halla los máximos y mínimos relativos de las siguientes funciones:
f(x) = x^3 - 3*x + 2 en [-10, 10]
f(x) = x en [-10, 11]
f(x) = x en [-10, 11)
f(x) = x en (-10, 11)
f(x) = (x^2 - 3*x + 2)/(x^2 + 1) en [-10, 10]
f(x) = cos(x) en [-10, 10]