Question

Ayuda con esta derivada

Answer 1

Buenas tardes,

Este tipo de ejercicios ante que empezar a derivar, la idea es analizar la función e intentar reducir u observar por donde se puede atacar a la bestia.

En un comienzo se vió muy tentador juntar esa fracción pero me di cuenta de la arccot multiplicando así que tendrá que ser de otra forma. Igualmente comparten el denominador así que lo más sano será utilizar el cociente de la derivada. La función a derivar es :

$y = \frac{a^x - \text{arccot}(a^{-x})(1-a^{2x})}{1+a^{2x}} = \frac{u}{v}$

Deje a u como el numerador y v como el denominador, como para ordenar un poco porque uff... en este tipo de derivadas hay que ser muy ordenado ya que si te equivocas en un signo te ponen todo malo en el examen :c, ahora bien, aplicamos la derivada de cuociente:

$y'= \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Vamos a lo que nos tiene acá, las partes u,v y v^2 son triviales ya que solo hay que sustituir, encontremos u' y v':

$u(x) = a^x - \text{arccot}(a^{-x})(1-a^{2x})\\\\u'(x) = \ln(a)x - \Delta$

La primera parte de la derivada es sencilla ya que es inmediata, para Δ aplicamos la regla del producto y cadena :

$\Delta ' (x) = (\text{arccot}(a^{-x})(1-a^{2x}))'\\ \\ \text{Tomar\'e f como arccot.. y g como el par\'entesis (1-..)}}\\\\\Delta ' (x) = \frac{-\ln(a)a^{-x}\cdot(-1)(1-a^{2x})}{1+a^{-2x}} + \text{arccot}(a^{-x})(-\ln(a)a^{2x}\cdot 2) \\\\\\\Delta '(x) = \frac{\ln(a)a^{-x}(1-a^{2x})}{1+a^{-2x}} - 2\ln(a)a^{2x}\text{arccot}(a^{-x})$

Con esto, ya tenemos el valor de u' :

$u'(x) = \ln(a)x - \Delta'\\\\\\\boxed{u'(x) = \ln(a)\left[ x - \frac{a^{-x}(1-a^{2x})}{1+a^{-2x}} - 2a^{2x}\text{arccot}(a^{-x})\right]}$

Creo que esa era la parte más compleja, la derivada de v' es más sencilla :

$v(x) ' = 2\ln(a)a^{2x}$

Con todo esto volvemos a la ecuación del cuociente y sustituimos las u,v,u' y v correspondientes:

$y'= \frac{u'v - uv'}{v^2}$

Así obtendras el valor de la derivada, yo ahora tengo que salir y no tendré tiempo de sustituir los valores, pero esa es la idea, quizás a la vuelta lo edite y deje la solución simplificada ya que solo eso hay que hacer en este punto.

Salu2.