Question

evaluar la integración dada
necesito ayuda por favor, solo la #4 por favor ayuda

Answer 1

Respuesta:

$\mathbf{\display\int{\frac{1}{1+\cos(5x)}\,dx}=\frac{1}{5}\tan(5x/2)+C}$

Explicación paso a paso:

La integral a resolver es:

$\int{\frac{1}{1+\cos(5x)}}\,dx$

Luego realizamos el siguiente cambio:

$u=5x\Rightarrow du=5dx\\\Rightatrow \int{\frac{1}{1+\cos(5x)}}\,dx=\frac{1}{5}\int{\frac{du}{1+\cos(u)}}$

Nuevamente realizamos los siguientes cambios:

$\tan(u/2)=t\Rightarrow u=2\tan^{-1}(t)\\du=\frac{2dt}{1+t^{2}}\,\,,\cos(u)=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}$

Sustituyendo dichos cambios en la integral anterior nos queda:

$\frac{1}{5}\int{\frac{du}{1+\cos(u)}}=\frac{1}{5}\int{\frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{1+\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}}}$

Desarrollando y Simplificando se tiene:

$\frac{1}{5}\int{\frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{\frac{1+t^{2}+1-t^{2}}{1+t^{2}}}}=\frac{1}{5}\int{\frac{\frac{2dt}{1+t^{2}}}{\frac{2}{1+t^{2}}}}=\\\\=\frac{1}{5}\int{\frac{2dt(1+t^{2})}{2(1+t^{2})}}=\frac{1}{5}\int{dt}$

Resolviendo:

$\frac{1}{5}\int{dt}=\frac{1}{5}t+C$

Deshaciendo el cambio de $t=\tan(u/2)$ nos queda:

$\frac{1}{5}t+C=\frac{1}{5}\tan(u/2)+C$

Deshaciendo el cambio $u=5x$

$\frac{1}{5}\tan(u/2)+C=\frac{1}{5}\tan(5x/2)+C$

Así

$\int{\frac{1}{1+\cos(5x)}}\,dx=\frac{1}{5}\tan(5x/2)+C$

Saludos.