Question

$\lim_{x \to \infty} ( \frac{5x^{2}+1 }{x} +(\frac{3-x^{2} }{x+2} )$
como se hace este limite?

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Límites

$\textbf{Problema :}$

Halle el límite de la función $f_{(x)} = \dfrac{5x^{2} + 1}{x} + \dfrac{3-x^{2}}{x+2}$ cuando $x$ tiende a ser $\infty^{+}$

RESOLUCIÓN

$\textrm{Limites de Funciones Racionales}$

Un método para calcular límites al infinito de funciones racionales, con indeterminación $\dfrac{\pm \infty}{\pm \infty}$ consiste en factorizar la mayor potencia de $x$ en el numerador y denominador para luego hacer uso del siguiente teorema.

$\textbf{Teorema :}\ \textrm{Si}\ n\ \textrm{es cualquier n\'umero entero positivo, entonces se cumple}$

$\boxed{\textrm{Lim}_{x \to \infty^{+}} \left( \dfrac{1}{x^{n}} \right) = 0}$

$\boxed{\textrm{Lim}_{x \to \infty^{-}} \left( \dfrac{1}{x^{n}} \right) = 0}$

Dejaré algunos ejemplos y un teorema adicional para calcular este tipo de límites de manera muy sencilla.

Entonces escribiremos la función de esta forma

$f_{(x)} = \dfrac{5x^{2} + 1}{x} + \dfrac{3-x^{2}}{x+2} = \dfrac{4x^{3}+10x^{2}+4x+2}{x^{2}+2x}$

Notamos que el valor de la función cuando $x$ tiende a $\infty$ nos da la indeterminación $\dfrac{\infty}{\infty}$

Entonces factorizamos en $x^{3}$ quedando.

$f_{(x)} = \dfrac{4+ \dfrac{10}{x} + \dfrac{4}{x^{2}} + \dfrac{2}{x^{3}}}{\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x^{2}}}$

Entonces el valor de la función cuando $x$ tiende a $\infty$ es:

$f_{(x)} = \dfrac{4+ 0 + 0 + 0}{0+0} = \dfrac{4}{0} = \infty$

Decimos entonces que el límite es igual a $\infty$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{El l\'imite de la funci\'on cuando}\ x\ \textrm{tiende a infinito es:}\ \infty}$