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Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:
5.1. Beatriz y Sara coleccionan cupones de modo que entre las dos tienen 80. Tres veces el número de cupones que tiene Beatriz es igual a 5 cupones más que el doble de los cupones que tiene Sara. ¿Cuántos cupones tiene cada una de las muchachas?
5.2. En una billetera hay 45 billetes que hacen un total de $ 530. Si una parte son billetes de $10 y la otra parte billetes de $20. ¿Cuántos billetes de 10 y 20 hay en la billetera?
5.3. Un granjero tiene pollos y caballos. Todos estos amimales tienen juntos 50 cabezas y 140 patas. ¿Cuántos pollos y cuantos caballos tiene el granjero?
5.4. Al ser preguntada una dama por su edad, contestó que no tenía por que ocultarla, pero aquel que quisiera saberla, le costaría cierto trabajo determinarla y agregó: “Si al año en que cumplí los 15 le suman el año en que cumplí los 20 y si a este resultado le restan la suma del año en que nací con el año actual obtendrñan 7”. ¿Cu{al es la edad de la dama?
5.5. Tres jugadores acuerdan que el perdedor duplicará el dinero de los otros dos. Juegan 3 partidas, pierden una cada uno y al retirarse lo hacen con $16 cada uno. ¿Cuánto tenía cada jugador al principio?
5.6. Los ahorros de un niño constaban de (p+1), (3p-5) y (p+3) moneda de 5, 10 y 20 centavos de dólar respectivamente. ¿A cuánto ascienden sus ahorros, si al cambiarlos en monedas de 25 centavos el número de monedas obtenidas es el doble del n úmero de monedas de 5 centavos?
5.7. En una evaluación de 30 preguntas, cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrecta -1 y en blanco 0 puntos. Un estudiante obtuvo 82 puntos y observó que por cada respuesta en blanco tenía 3 respuestas correctas. ¿Cuántas incorrectas respondió?
5.8. Se quiere colocar cierto número de fichas de modo que formen un cuadrado completo. En la primera disposición sobran 8 fichas; formando el cuadrado con una ficha más por lado faltan 23. ¿Cuántas son las fichas?
Respuestas
SOLUCION :
5.1) x = número de cupones de Beatriz
y = número de cupones de Sara
x +y = 80 *2 2x +2y = 160
3x = 2y + 5
3x -2y = 5 método de reducción al sumar la ecuaciones resulta :
5x = 165
x = 165/5 = 33 y = 80 -33 = 47
Beatriz tiene 33 y Sara 47 cupones.
5.2) x = número de billetes de$10
y = número de billetes de $ 20
x + y = 45 *-10 -10x-10y = -450
10x +20y = 530 al sumar las ecuaciones resulta :
10y = 80 y = 8 billetes de $20
x = 45 -8 = 37 billetes de $10
5.3) x = pollos
y = caballos
x + y = 50 * -2 -2x-2y = -100
2x + 4y = 140
2y = 40 y = 40/2 = 20 pollos
x = 50 -20 = 30 caballos
5.4) x + ( x+5 ) - ( x-15 + 2019) = 7
x + x+5 -x+15 -2019 = 7
x +20 - 2019 = 7 x = 2006 año en el cual cumplió 15 .
el año en que nació la dama = 2006 - 15 =1991 .
2019 -1991 = 28 años es la edad de la dama
5.5) x pierde primero y tiene 26
y pierde de segundo y tiene 14
z pierde de tercero y tiene 8
Primera partida pierde x :
y queda con 14*2 = 28
z queda con 8*2 = 16
x queda con = 26-14-8 = 4
segunda partida pierde y:
x queda con 4*2 = 8
z queda con 16*2 = 32
y queda con 28-4-16 = 8
tercera partida pierde z :
x queda con 8*2 = 16
y queda con 8*2 = 16
z queda con 32-8 -8 = 16
El primer jugador tenía 26 , el segundo jugador tenía 14 y el tercer jugador tenía 8.
5.6) Ahorros ( p+1 ) monedas de 5 centavos
( 3p-5 ) monedas de 10 centavos
(p+3) monedas de 20 centavos
5( p+1) +10* (3p-5)+20*(p+3) = 25*(2*(p + 1))
5p +5 +30p -50 +20p+60 = 50p +50
5p= 35 p = 7
50* ( 7+1 ) = 50*8 = 400 centavos de dólar son los ahorros del niño
5.7) 82 puntos
x número de respuesta correctas
y número de respuestas incorrectas
z número de respuestas en blanco.
z = 3x y =? x + y +z = x+y +3x = 4x +y
4* x +-1*y + 0*z = 82
4x - y = 82
5.8 ) y = x²+8
y = ( x+1)²-23
x²+ 8 = ( x+1)²-23
x²+ 8 = x²+2x+1 -23
x = 15
y = ( 15)²+ 8 = 225 +8 = 233
El número de fichas es 233.
Ecuaciones lineales:
5.1 Beatriz tiene 31 cupones y Sara tiene 49 cupones
5.2 En la billetera hay 37 billetes de $10 y 8 billetes de $20
5.3 En la granja hay 30 pollos y 20 caballos
5.4 La edad de la dama es de 42 años
5.5 Al principio cada jugador tenia $4
5.6 Los ahorros del niño son de 400 centavos
5.7 El estudiante respondió incorrectamente 26 preguntas
5.8 El número de fichas es 233.
5.1. Beatriz y Sara coleccionan cupones de modo que entre las dos tienen 80. Tres veces el número de cupones que tiene Beatriz es igual a 5 cupones más que el doble de los cupones que tiene Sara. ¿Cuántos cupones tiene cada una de las muchachas?
x: cantidad de cupones de Beatriz
y: cantidad de cupones de Sara
x+y = 80
3x = 2y+5
Método de sustitución: despejando una incógnita de la primera ecuación y reemplazando en la segunda
x= 80-y
3(80-y) = 2y+5
240-3y = 2y+5
245 = 5y
y = 49
x= 80-49
x = 31
5.2. En una billetera hay 45 billetes que hacen un total de $ 530. Si una parte son billetes de $10 y la otra parte billetes de $20. ¿Cuántos billetes de 10 y 20 hay en la billetera?
x: cantidad de billetes de $10
y: cantidad de billetes de $20
x+y = 45 billetes
10x+20y = 530
Método de sustitución: despejando una incógnita de la primera ecuación y reemplazando en la segunda
x= 45-y
10(45-y)+20y = 530
450 -10y +20y = 530
10y = 80
y = 8
x= 45-8
x = 37
5.3. Un granjero tiene pollos y caballos. Todos estos animales tienen juntos 50 cabezas y 140 patas. ¿Cuántos pollos y cuantos caballos tiene el granjero?
x: cantidad de pollos
y: cantidad de caballos
x+y= 50 cabezas
2x+4y= 140 patas
Método de sustitución: despejando una incógnita de la primera ecuación y reemplazando en la segunda
x= 50-y
2(50-y) +4y =140
100-2y+4y = 140
2y = 40
y = 20
x=30
5.4. Al ser preguntada una dama por su edad, contestó que no tenía por que ocultarla, pero aquel que quisiera saberla, le costaría cierto trabajo determinarla y agregó: “Si al año en que cumplí los 15 le suman el año en que cumplí los 20 y si a este resultado le restan la suma del año en que nací con el año actual obtendrían 7”. ¿Cual es la edad de la dama?
Por tanteo se determino que el año que nació la dama es 1976
Si en 1976 nació tenia 15 años en 1991 y 20 años en 1996
1991+
1996
3987
1976- Año en el que nació
2011
2018-
7 Resultado
La edad de la dama es:
2018- 1976 = 42 años
5.5. Tres jugadores acuerdan que el perdedor duplicará el dinero de los otros dos. Juegan 3 partidas, pierden una cada uno y al retirarse lo hacen con $16 cada uno. ¿Cuánto tenía cada jugador al principio?
x: la cantidad de dinero que tenía cada jugador al comienzo
Planteamiento:
Jugador: A B C
Inicialmente: x x x
Primera partida:
Pierde el primero x 2x 2x
Segunda partida:
Pierde el segundo 2x 2x 2*2x=4x
Tercera partida:
Pierde el tercero 2*2x = 4x = $16 2*2x=4x = $16 4x=$16
Ecuación lineal:
4x = $16
x = $4
Al principio cada jugador tenia $4
5.6. Los ahorros de un niño constaban de (p+1), (3p-5) y (p+3) moneda de 5, 10 y 20 centavos de dólar respectivamente. ¿A cuánto ascienden sus ahorros, si al cambiarlos en monedas de 25 centavos el número de monedas obtenidas es el doble del número de monedas de 5 centavos?
n° de monedas (p+1): 5 centavos de dólar
n° de monedas (3p-5): 10 centavos de dólar
(p+3) monedas: 20 centavos de dólar
(p+1)5/25 +(3p -5)10/25 +(p +3)20/25 =2(p +1)
p +1 +6p -10 +4p +12 =10(p+ 1)
11p +3= 10p +10
p =7
Reemplazamos p en la ecuación inicial
(p+1)5, (3p-5)10 y (p+3)20
8*5 +16 *10 +20*10= 400 centavos
Los ahorros del niño son de 400 centavos
5.7. En una evaluación de 30 preguntas, cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrecta -1 y en blanco 0 puntos. Un estudiante obtuvo 82 puntos y observó que por cada respuesta en blanco tenía 3 respuestas correctas. ¿Cuántas incorrectas respondió?
x : número de respuesta correctas
y: número de respuestas incorrectas
z: número de respuestas en blanco.
4x-y =82
x+y+z= 30
z = 3x
x+y+3x= 30
4x+y =30
4x-y = 82
8x = 112
x = 14
Incorrectas que respondió:
4*14-82 =y
y = 26
5.8. Se quiere colocar cierto número de fichas de modo que formen un cuadrado completo. En la primera disposición sobran 8 fichas; formando el cuadrado con una ficha más por lado faltan 23. ¿Cuántas son las fichas?
y = x²+8
y = ( x+1)²-23
Igualamos:
x²+ 8 = ( x+1)²-23
x²+ 8 = x²+2x+1 -23
x = 15
y = ( 15)²+ 8 = 225 +8 = 233
El número de fichas es 233.
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