Question

Sobre la recta y=2x+8: Hallar un punto cuya distancia al punto (10,2) sea mínimo.
Explicado con derivadas por favor

Answer 1

para hacer esto tenemos que tener presente que lo que tu quieres hacer es hallar la distancia entre un punto perteneciente a la recta, cuyas coordenadas serian (x,y) y el punto (10,2), la formula para distancia entre puntos es $\sqrt[2]{(x-x1)^{2}  + (y-y1)^2}$  donde "x" y "x1" representan la coordenada x de los 2 puntos, lo mismo con y, entonces tenemos una funcion si reemplazamos, digamos que x=x, x1=10, y=y, y1=2. pero ahora tenemos un problema con esa ye dentro de la ecuacion no? entonces sabemos que y = 2x+8 y la reemplazamos en la funcion de distancia:

x=x, x1=10, y=2x+8, y1=2

en la imagen adjunta puse la grafica de la recta (roja) el punto y la funcion de la distancia entre puntos (verde).

ahora que queremos hallar, la menor distancia osea el punto donde la distancia es minima, que hacemos, derivamos la funcion  $\sqrt[2]{(x-10)^{2}  + ((2x+8)-2)^2}$ (ya lo haras tu) luego buscamos los puntos criticos de la funcion (en este caso solo obtendras 1 ) como tenemos la grafica sabemos que ese sera el minimo y ya esta, ahora tenemos el punto x donde la distancia con el punto (10,2) es menor, entonces reemplazamos esa x en la recta para saber las coordenadas del punto, creo que son (-0.4, 7.2)

PD: cuando estas trabajando con problemas de oprimizacion como este debes buscar una funcion que relaciones lo que sabes con lo que buscas, que fue lo que yo hice.

saludos.