Question

encuentre dos numeros no negativos cuya suma sea 20 y tales que el producto de 2 veces uno de los numeros por el cuadrado del otro sea un maximo

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Máximos y Mínimos

$\mathbf{Problema}$

Encuentre dos números no negativos cuya suma sea $20$ y tales que el producto de $2$ veces uno de los números por el cuadrado del otro sea un máximo.

RESOLUCIÓN

Sean dos números $a$ y $b$ tal que $a \geq 0$ y $b \geq 0$ que cumplan la condición $a+b = 20$ y definimos $\textrm{E}$ tal que $\textrm{E} = 2ab^{2}$

Como $a+b = 20$, entonces $a = 20 - b$, reemplazamos esto en $\textrm{E}$ y nos queda $\textrm{E} = 2(20-b)b^{2}$.

$\textrm{E} = 2b^{2}(20-b) \\ \\ \textrm{E} = 40b^{2} - 2b^{3}$

Notemos que el valor de $\textrm{E}$ depende de la variable $b$, entonces definimos $\textrm{E}_{(b)} = 40b^{2} - 2b^{3}$, para hallar un máximo o un mínimo relativo o absoluto en la función $\textrm{E}_{(b)}$ derivamos la función e igualamos a cero, y posteriormente derivamos de nuevo.

$\textrm{E}'_{(b)} = 80b - 6b^{2} = 0$

$b(80-6b) = 0 \\ \\ b = 0 \vee b = \dfrac{40}{3}$

$\textrm{E}''_{(b)} = 80 - 12b \\ \\ \textrm{E}''_{(0)} = 80 > 0 \\ \\ \textrm{En un m\'inimo absoluto o relativo} \\ \\ \textrm{E}''_{(40/3)} = -80 < 0 \\ \\ \textrm{En un m\'aximo absoluto o relativo}$

Debido a que estamos considerando $b \geq 0$ decimos que es un máximo absoluto.

Entonces...

$a = \dfrac{20}{3} \wedge b = \dfrac{40}{3}$

RESPUESTA

$\boxed{\textrm{Los n\'umeros son}\ a = \dfrac{20}{3}\ \textrm{y}\ b = \dfrac{40}{3}}$

Answer 2

Respuesta:quiero que me ayuden a resolver

Explicación paso a paso:

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