(secx+sen^2x+cos^2x)(secx-1)=tan^2x


anckpop: quieres la demostración?
fabioola00: Siiii por favor

Respuestas

Respuesta dada por: anckpop
74
(sec(x) + sen²(x) + cos²(x)) (sec(x) - 1) = tan²(x)

Existe una identidad que dice:
sen²(x) + cos²(x) = 1

Entonces

(sec(x) + 1)(sec(x) - 1) = tan²(x)
sec²(x) - 1 = tan²(x)

Reemplazamos
 \frac{1}{cos^{2} (x)}  - 1  = tan^{2}(x)\\  \\  \frac{1 - cos^{2} (x)}{cos^{2} (x)}  = \:  {tan}^{2}(x) \\  \\   \frac{sen^{2}(x)}{cos^{2}(x)}  = tan^{2}(x)

Sabemos que:
 \frac{sen(x)}{cos(x)}  = tan(x)

Entonces:
tan^{2}(x) = tan^{2}(x) \\  \\ lqqd
Respuesta dada por: AspR178
26
 \underline{hola}
( \sec(x) + \sin(x) {}^{2} + \cos(x) {}^{2} )( \sec(x) - 1) = \tan(x) {}^{2}
 \textrm{lo \: que \: yo \: hare \: sera \: primero} \\ \textrm{acomodar \: los \: terminos} \\ \textrm{despues \: de \: eso \: hare \: las \: } \\ \textrm{siguientes \: relaciones}
 \sec(x) = \frac{1}{ \cos(x) } \\ \tan(x) {}^{2} = \frac{ \sin(x) {}^{2} }{ \cos(x) {}^{2} } \\ \sin(x) {}^{2} = 1 - \cos(x) {}^{2} \\ \cos(x) {}^{3} = \cos(x) - \cos(x) \sin(x) {}^{2}

( \cos(x) {}^{2} + \sin(x) {}^{2} + \frac{1}{ \cos(x) } )( \frac{1}{ \cos(x) } - 1 ) = \frac{ \sin(x) {}^{2} }{ \cos(x) {}^{2} } \\

Lo explicaré por partes, primero resolvamos:

 \frac{1}{ \cos(x) } - 1 \\ \frac{1}{ \cos(x) } - \frac{1}{1} = \frac{1 - \cos(x) }{ \cos(x) } \\ \textrm{si \: tienes \: dudas \: de \: como \: sale} \\ \textrm{te \: explico \: brevemente} \\ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}

Bueno, teniendo dicho resultado, lo ponemos en en nuestro problema:

 \frac{1 - \cos(x) }{ \cos(x) } ( \cos(x) {}^{2} + \sin(x) {}^{2} + \frac{1}{ \cos(x) } ) = \frac{ \sin(x) {}^{2} }{ \cos(x) {}^{2} } \\

Ahora, volvamos a ir por partes:

 \cos(x) {}^{2} + \sin(x) {}^{2} + \frac{1}{ \cos(x) } \\ \cos(x) {}^{2} + \sin(x) {}^{2} \\ \frac{ \cos(x) {}^{2} }{1} + \frac{ \sin(x) {}^{2} }{1} = \frac{ \cos(x) {}^{2} \sin(x) }{1} \\ \frac{ \cos(x) {}^{2} \sin(x) {}^{2} }{1} + \frac{1}{ \cos(x) } \\ \frac{1 + \cos(x) {}^{2} + \cos(x) \sin(x) {}^{2} }{ \cos(x) }

Tendremos pues:

( \frac{1 - \cos(x) }{ \cos(x) } )( \frac{1 + \cos(x) {}^{3} + \cos(x) \sin(x) {}^{2} }{ \cos(x) } ) = \frac{ \sin(x) {}^{2} }{ \cos(x) {}^{2} }

Me centrare en la multiplicación, recuerda que cuando es Multiplicacion de Fracciones, dicha Multiplicacion se efectuará de manera directa:

( \frac{1 - \cos(x) }{ \cos(x) } )( \frac{1 + \cos(x) {}^{3} + \cos(x) \sin(x) {}^{2} }{ \cos(x) } ) \\ \frac{(1 - \cos(x))(1 + \cos(x) {}^{3} + \cos(x) \sin(x) {}^{2} }{ (\cos(x))( \cos(x) ) }

Tendremos pues:

 \not\cos(x) {}^{2} ( \frac{(1 - \cos(x) )(1 + \cos(x) {}^{3} + \cos(x) \sin( x) )}{ \not \cos(x) {}^{2} } = \frac{ \sin(x) {}^{2} }{ \not \cos(x) {}^{2} } )

Ya habiendo eliminado el denominador, nos queda:

(1 - \cos(x) )(1 + \cos(x) {}^{3} + \cos(x) \sin(x) {}^{2} ) = \sin(x) {}^{2} \\ (1 - \cos(x) )(1 + \cos(x) - \not{\cos(x) \sin(x) {}^{2} + \not \cos(x) \sin(x) {}^{2} } ) = \sin(x) {}^{2} \\ (1 - \cos(x)) (1 + \cos(x) ) = \sin(x) {}^{2} \\ 1 - \cos(x) {}^{2} = \sin(x) {}^{2} \\ 1 - \cos(x) {}^{2} = 1 - \cos(x) {}^{2} \textrm{ \: y \: tambien}\\ \sin(x) {}^{2} = \sin(x) {}^{2}

Por lo que la Identidad es:

 \boldsymbol{verdadera}

Espero haberte ayudado,

SALUDOS CORDIALES, AspR178 !!! ✌️^_^⭐

# Que largo problema jajaja
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