Question

50 PUNTOS !!! Hallar el dominio

Answer 1

¡Buenas!

Tema: Dominio de Funciones

Halle el dominio de la siguiente función.

$f(x) = \sqrt{\sqrt{\dfrac{x^{2}-x-2}{3- \sqrt{4-x^{2}}}} - x^{2} +4x +26 }$

RESOLUCIÓN

Para poder hallar el dominio debemos enfocarnos en las expresiones algebraicas irracionales de índice par, las cuales son:

$\sqrt{4-x^{2}}$

$\sqrt{\dfrac{x^{2}-x-2}{3- \sqrt{4-x^{2}}}}$

$\sqrt{\sqrt{\dfrac{x^{2}-x-2}{3- \sqrt{4-x^{2}}}} - x^{2} +4x +26 }$

Empecemos restringiendo valores de $x$ desde la expresión algebraica irracional más simple hasta la más compleja, evidentemente la más simple es $\sqrt{4-x^{2}}$

$\textrm{Se debe cumplir entonces :}$

$4-x^{2} \geq 0 \\ \\ (2-x)(2+x) \geq 0 \\ \\ (x-2)(x+2) \leq 0$

$x \in [-2 ;\ 2]$

$\textrm{Notemos que...}$

$x \in [-2 ;\ 2]\ \to\ \sqrt{4-x^{2}} \in [0;\ 2]$

Ahora sigamos restringiendo valores de $x$ para $\sqrt{\dfrac{x^{2}-x-2}{3- \sqrt{4-x^{2}}}}$ , consideremos $x \in [-2;\ 2]$

$\textrm{Se debe cumplir entonces :}$

$\dfrac{x^{2}-x-2}{3- \sqrt{4-x^{2}}} \geq 0$

$\textrm{Aprovechando que}\ 3 - \sqrt{4-x^{2}} \in [1;\ 3]\ \textrm{podemos multiplicar} \\ \textrm{ambas partes de la desigualdad}$

$\dfrac{x^{2}-x-2}{3- \sqrt{4-x^{2}}} \cdot (3- \sqrt{4-x^{2}}) \geq 0 \cdot (3- \sqrt{4-x^{2}})$

$x^{2}-x-2 \geq 0$

$(x-2)(x+1) \geq 0 \\ \\ x \in \langle - \infty ; -1] \cup [2; + \infty]$

Sin embargo como ya hemos mencionado $x \in [-2 ;\ 2]$, entonces:

$x \in ( \langle - \infty ; -1] \cup [2; + \infty] ) \cap [-2 ;\ 2] \\ \\ x \in [-2;\ -1] \cup \{2\}$

Analicemos ahora la última expresión algebraica irracional consideremos esta vez $x \in [-2;\ -1] \cup \{2\}$

$\textrm{Para todo}\ f(x) \geq 0\ \textrm{se cumple que}\ \sqrt{f(x)} \geq 0\ \textrm{en}\ \mathbb{R}$

$\textrm{En este caso notamos una funci\'on}\ g(x) \\ \\ g(x) = \dfrac{x^{2}-x-2}{3- \sqrt{4-x^{2}}} \\ \\ \\ x \in [-2;\ -1] \cup \{2\}$

$\textrm{Como sabemos se cumplir\'a :} \\ \\ g(x) \geq 0$

$\textrm{por ende...}\ \sqrt{g(x)} \geq 0$

Analicemos la función $f(x)$ considerando $x \in [-2;\ -1] \cup \{2\}$

$f(x) = \sqrt{\sqrt{g(x)} - x^{2} +4x +26}$

$\textrm{Sabemos que}\ \sqrt{g(x)} \geq 0, \textrm{entonces solo nos queda por analizar} \\ -x^{2} +4x +26$

$-x^{2} +4x +26 = - \{ (x-2)^{2} -30 \} = -(x-2)^{2}+30$

Ya que estamos considerando $x \in [-2;\ -1] \cup \{2\}$ , entonces $-(x-2)^{2}+30 \in [14;\ 21] \cup \{ 30 \}$, es decir, la expresión $-x^{2} +4x +26$ es positiva, por lo tanto, no queda nada más para restringir.

Decimos entonces que el dominio de la función $f(x)$ es:

$Dom_{f} = [-2;\ -1] \cup \{2\}$

RESPUESTA

$\boxed{Dom_{f} = [-2;\ -1] \cup \{2\}}$