Una esfera hueca, uniforme, gira en torno a un eje vertical en chumacera sin fricción. Un cordón delgado pasa alrededor del ecuador de la esfera, sobre la polea, y está unido a un objeto pequeño que, por otra parte, está libre de caer bajo la influencia de la gravedad. ¿Cuál es la velocidad del objeto después de que ha caído una distancia h desde el reposo?
Respuestas
Debemos hallar la aceleración del objeto suspendido y luego la velocidad:
V = √(2 a h)
Fuerzas sobre la masa suspendida:
m g - T1 = m a (T1 = tensión en la cuerda horizontal)
El momento de la fuerza T2 produce una aceleración angular sobre la esfera:
T2 R = I α = I . a/R
Siendo una esfera hueca: I = 2/3 M R²
T2 . R = 2/3 M R² . a/R; luego: T2 = 2/3 M a
El momento de las fuerzas sobre la polea producen una aceleración angular:
(T1 - T2) r = I α' = I a/r
Luego T1 - T2 = I a/r²
Reunimos las ecuaciones obtenidas
m g - T1 = m a (1)
T2 = 2/3 M a (2)
T1 - T2 = I a/r² (3)
Sumamos (1) y (2)
m g - T1 + T2 = m a + 2/3 M a; reemplazamos T2 - T1 = - I a/r²
m g - I a/r² = m a + 2/3 M a
m g = a (m + 2/3 M + I / r²)
Finamente a = m g / (m + 2/3 M + I / r²)
Como se aprecia a es función de los datos del problema.
Se reemplaza en V tenemos la respuesta pedida.
Saludos Herminio