Question

Circulación de dinero Un país tiene 1000 millones de dólares de papel moneda en

circulación. Cada semana, 25 millones se llevan a depositar a los bancos y la misma

cantidad se paga. El gobierno decide reimprimir papel moneda nuevo; siempre que el

papel moneda viejo llega a los bancos, se destruye y se reemplaza por nuevo. Sea y la

cantidad de papel viejo (en millones de dólares) en circulación en el tiempo t (en

semanas). Entonces y satisface la ecuación diferencial

dy
dt =-0.025

¿Cuánto tiempo será necesario para que el 95% del papel moneda en circulación quede

reemplazado por papel nuevo? Redondee su respuesta a la semana más cercana. (Una

pista: Si el 95% del papel es nuevo, entonces y es 5% de 1000.)

Answer 1

RESPUESTA:

Tenemos la siguiente ecuación diferencial

dy/dt = -0.025y

Por tanto, separamos y resolvemos mediante la integración, tenemos que:

dy/y = -0.025·dt

Integramos:

∫dy/y = -0.025·∫dt

Consideramos que serán evaluadas en sus mismas variables, entonces:

ln(y/y₀) = -0.025·t

Ahora, debemos buscar el tiempo para cuando queda un 5% de papel en la calle, es decir:

ln(0.05) = -0.025·t

t = 119.82 semanas

Por tanto, tenemos que bajo las condiciones dadas será recolectado el 95% de los billetes en 120 semanas.