Question

calcule el volumen de una piramide de base cuadrangular en donde sus caras laterales son triangulos equilateros y el perimetro de la base es 12raiz de 2

Answer 1

Respuesta:

V =  18 u³

Explicación paso a paso:

Como el perímetro de la base es 12√2 y se trata de un cuadrado podemos saber que el lado del cuadrado de la base es:

12√2 / 4 = 3√2

Como las caras laterales son triángulos equiláteros todas las aristas de la pirámide (las de la base y las de las caras laterales) misma miden eso.

Nos piden calcular el volumen de la pirámide que debemos saber que responde a la fórmula:

V = 1/3 AB · h

Donde AB es el área de la base y h es la altura de la pirámide.

El área de la base es fácil puesto que al ser un cuadrado tenemos que su área es el cuadrado del lado (que tenemos de antes):

AB = (3√2)² = 18 u².

Para hallar la altura de la pirámide tenemos que utilizar el teorema de Pitágoras. Imaginamos un triángulo rectágulo con un vértice en la cúspide de la pirámide, un segundo vértice en el centro de la base de la piŕamide y el tercer vértice en cualquiera de los vértices de la base. En ese caso tenemos que la hipotenusa del triángulo considerado es una arista lateral que mide 3√2, el cateto horizontal es la mitad de la diagonal del cuadrado de la base y el otro cateto es la altura que buscamos.

Hallamos la diagonal del cuadrado de la base. También utilizamos Pitágoras. En este caso ambos catetos miden 3√2 por lo que la hipotenusa mide:

h² = c² + c² = 18 + 18 = 36

La hipotenusa será:  √36 = 6

Como nos interesa la mitad de la diagonal tenemos que el cateto buscado para el triángulo de la altura mide: 6/2 = 3

El triángulo con la altura de la pirámide tiene un cateto que mide 3 y la hipotenusa mide 3√2 por lo que si aplicamos Pitágoras hallamos lo que mide la altura de la pirámide:

(3√2)² = 3² + h²

18 = 9 + h²

9 = h²

h = 3

Hallamos ahora el volumen buscado:

V = 1/3 3 · 18 = 18 u³  

Answer 2

sabiendo que el volumen de una pirámide con base cuadrada es:
$\\ \\ v = \frac{1}{3} \times a \times h$

donde a es el área de la base y h es la altura



los datos dicen: como los lados del triángulo son equilateros entonces la base es cuadrada y los lados del triángulo miden lo mismo que el el cuadrado.

el cuadro tiene como perímetro
$12 \sqrt{2}$

sabiendo que el perímetro de un cuadrado se calcula sumando todos sua lados:
$l + l + l + l = 4l$
entonces:
$\\ \\4l = 12 \sqrt{2} \\ \\ l = \frac{12}{4} \sqrt{2} \\ \\ l = 3 \sqrt{2}$
ahora el área de un cuadrado es:
$l {}^{2}$

entonces es área es:
$(3 \sqrt{2} ) {}^{2} = 9 \times 2 = 18$
ahora la altura de la pirámide se encuentra haciendo un triángulo con la mitad de la base y una de las caras del triángulo, luego se hace pitagoras:

si
$l = 3 \sqrt{2}$
entonces la mitad de la base es
$\frac{l}{2} = \frac{3}{2} \sqrt{2}$
ahora haciendo pitagoras:
$l {}^{2} = ( \frac{l}{2} {)}^{2} + h {}^{2} \\ \\ \\ h = \sqrt{ l {}^{2} - ( \frac{l}{2} {)}^{2} } \\ \\ \\ h = \sqrt{18 - \frac{18}{4} } = \sqrt{ \frac{54}{4} } = \frac{3}{2} \sqrt{6}$


ahora que la tenemos el área de la base y la altura de la pirámide, calculamos el volumen:

$v = \frac{1}{3} \times 18\times \frac{3}{2} \sqrt{6} \\ \\ v = 9 \sqrt{6}$