El chorro de agua que sale de la manguera con que riegas un jardín sigue una trayectoria que puede modelarse con la ecuación x2 – 10x +20y -15 = 0, con las unidades en metros. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el chorro de agua?
Respuestas
Respuesta:
El máximo está en X=5
Explicación paso a paso:
Sabemos que la expresión con la cual modelamos la trayectoria del chorro es la siguiente:
x2 – 10x +20y -15 = 0
de tal modo que:
y = -x²/20+0.5x+0.75
Para saber cual es la altura maxima necesitamos utilizar el método de la segunda derivada, para ello, evaluamos el punto donde la primera derivada se hace cero:
Y' = -2/20x+0.5
Evaluando en y'=0
-2/20x+0.5=0
x = 5
Ahora calculamos la segunda derivada y evaluamos en x= 5, de modo que si la segunda derivada es negativa, estamos en presencia de un maximo, si es positiva entonces se trata de un mínimo:
Y'' = -2/20<0 ----> Como es menor que cero entonces podemos decir que el máximo es cuando x=5
Respuesta:
2
Explicación paso a paso:Sabemos que la ecuación de la parábola es:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Para dejar la ecuación presente como ecuación de la parábola debemos dejar a un lado las x y después del igual los demás términos, así:
x^2 - 10x + 20y - 15 = 0
x^2 - 10x = -20y + 15
Ahora debemos completar un trinomio cuadrado perfecto, para esto tomamos a 10 que acompaña a x de exponente 1 y lo dividimos en 2 y al resultado lo elevamos al cuadrado así:
x^2 - 10x + 25 = -20y + 15 + 25
De esta manera podemos factorizarlo como el cuadrado de un binomio así:
(x - 5)^2 = -20y + 40
Ahora para finalizar y tener nuestra ecuación de la parábola, debemos factorizar el término que hay después del igual de esta manera:
(x - 5)^2 = -20(y - 2)
Como vemos la ecuación es igual a la de la parábola, con esto podemos hallar su vértice (h,k), entonces:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
(x - 5)^2 = -20(y - 2)
-h = -5
h = 5
-k = -2
k = 2
Sabemos que el punto vértice es (5,2)
Ahora hallaremos a P entonces tenemos que:
4p = -20
p = (-20) / 4
p = -5
Sabiendo que P es negativo, nuestra parábola abre hacia abajo.
