Question

5. Solucione paso a paso los siguientes ejercicios de Integrales Múltiples:

Answer 1

RESPUESTA:

Recordemos que para resolver este ejercicios debemos resolver la integral más interna y luego la externa.

1- Tenemos que:

I = ∫₀² ∫₀¹ (x² + 2y) dxdy

Entonces, resolvemos la integral interna.

∫₀¹ (x² + 2y) dx = x³/3 + 2yx|₀¹  

I₁ = 1³/3 + 2y(1) - [0³/3 +2y·(0)]

I₁ = 1/3 + 2y

Nos queda ahora:

I =  ∫₀² (1/3 + 2y) dy

I = y/3 + y²|₀²

Evaluamos:

I = 2/3 + (2)² - [0/3 + 0²]

I = 14/3

Entonces el valor de nuestra integral es de  14/3.

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2- Tenemos la integral triple:

$I=\int\limits^1_0 {} \, \int\limits^x_{2x} {} \, \int\limits^y_0 {2xyz} \, dzdydx$

$I =\int\limits^y_0 {2xyz} \, dz$

I = xyz² → Evaluamos de [0,y]

I = x·y·y² - (x·y·0²)

I₁ = x·y³

Ahora, resolvemos la segunda integral:

I₂ = ∫ₓ²ˣ (x·y³) dy

I₂ = x·y⁴/4 |ₓ²ˣ

I₂ = x·(2x)⁴/4 - ( x·x⁴/4)

I₂ = 4x⁵ - x⁵/5

Ahora, resolvemos la última integral:

I = ∫₀¹ 4x⁵ - x⁵/5  dx

I = 4x⁶/6 - x⁶/30|₀¹

I = 4(1)⁶/6 - (1)⁶/30 - [4·0⁶/6 - 0⁶/30]

I = 19/30

Por tanto, tenemos que nuestra integral triple tiene un valor de 19/30.