Question

Un padre proyecta colocar en un baúl 1 el día que su hijo cumpla un año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en cada uno de los cumpleaños. ¿Cuanto tendrá que colocar en día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuanto habrá en el baúl luego que cumpla 18 años? ( toda la operación, respuestas)

Answer 1

Un padre proyecta colocar en un baúl  1  el día que su hijo cumpla un año, e ir duplicando la cantidad sucesivamente en cada uno de los cumpleaños. ¿Cuánto tendrá que colocar en día que su hijo cumpla 18 años? ¿Cuánto habrá en el baúl luego que cumpla 18 años?

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Se calcula usando progresiones geométricas (PG) las cuales son sucesiones de números donde cada término se obtiene a partir de multiplicar el anterior por una cantidad fija llamada razón "r".

En este caso, la cantidad por la que se multiplica cada término es 2 puesto que nos dice que va duplicando dicha cantidad en cada cumpleaños.

De todo ello se deducen los siguientes datos para la PG:

• Primer término  a₁ = 1 (lo que deposita el primer cumpleaños)
• Razón   r = 2   (por lo explicado anteriormente)
• Nº de términos   n = 18   (que es el nº total de años en los que nos pide calcular lo que depositará en la cuenta del hijo.

Con esos datos, acudo a la fórmula genérica de las PG:

$a_n=a_1*r^{n-1}$   ... donde ... $a_n=a_{18}$

Sustituyo datos...

$a_{18}=1*2^{18-1} =2^{17} =131072$

Con lo que tengo la respuesta a la 1ª pregunta.

Deberá depositar la cantidad de 131.072 al cumplir 18 años.

Para la 2ª pregunta hay que usar la fórmula de suma de términos porque hemos de sumar lo que ha ido depositando cada cumpleaños y dicha fórmula dice:

$S_{18} =\dfrac{a_{18}*r-a_1}{r-1} =\dfrac{131072*2-1}{2-1} =262143$

Con ello damos respuesta a la 2ª pregunta.

En el baúl habrá una cantidad acumulada de 262.143

Saludos.