La carga q en el condensador de un circuito sencillo RLC queda descrita mediante la ecuación Lq^'' (t)+Rq^' (t)+1/C q(t)=E(t), donde L es la inductancia, R la resistencia, C la capacitancia del circuito y E la fuente de voltaje. Como la resistencia de un resistor se aumenta con la temperatura, supongamos que la resistencia se calienta cambiando su valor de modo que R=(1+t/8)Ω. Si C=4 Faradios, L=0.25 Henrios y la fuente de voltaje está apagada, además teniendo en cuenta las condiciones iniciales donde la carga q(0)=2 Coulombs y la corriente dq/dt (0)=0 A, obtenga los primeros 5 términos de la solución en serie de potencias en torno a t=0 para la carga del condensador.
Respuestas
RESPUESTA:
Tenemos inicialmente la ecuación diferencial, tal que:
Lq''(t)+Rq'(t)+1/C q(t)=E(t)
Tenemos los valores de L, R y C, que son:
C = 4F
L = 0.25 H
Para R sabemos que t = 0, posición inicial, entonces:
R = (1+0/8) Ω
R = 1 Ω
Se sustituyen los valores en la ecuación original:
0.25q''(t)+1q'(t)+1/4 q(t)=E(t)
Tenemos una ecuación de segundo orden que debemos solucionar, para ello debemos buscar la ecuación característica.
0.25·m² + m + 1/4 = 0
Solucionamos aplicando resolvente y tenemos:
- m₁ = -0.26
- m₂ = -3.73
Entonces, nuestra ecuación diferencial tiene una solución de la siguiente forma:
q(t)=C₁e^(m₁t)+C₂e^(m₂t)
Sustituimos los valores encontrados:
q(t)=C₁e^(-0.26t)+C₂e^(-3.73t)
Aplicamos las condiciones iniciales, es decir, q(0) = 2 y tenemos que:
q(0)=C₁+C₂ = 2
Ahora derivamos:
q'(t)= -0.26C₁e^(-0.26t)-3.73C₂e^(-3.73t)
Evaluamos en la condición, es decir, q'(0) = 0
q'(0) = -0.26C₁ - 3.73C₂ = 0
Con nuestras dos ecuaciones procedemos despejar el valor de las constantes:
C₁ = 2-C₂
-0.26(2-C₂) - 3.73C₂ = 0
-0.52 + 0.26C₂ - 3.73C₂ = 0
- C₂ = -0.15
- C₁ = 2.15
Por tanto, nuestra solución será:
q(t)=-0.15e^(-0.26t)+2.15e^(-3.73t)
¿SERIE DE POTENCIA?
Debemos comenzar de la serie de potencia más básica, es decir la f(x) = eˣ, tenemos:
eˣ = ∑xⁿ/n! → desde n = 0 hasta ∞
Partiendo de esto obtenemos la serie de potencia que necesitamos, tenemos:
-0.15eˣ = -0.15·∑xⁿ/n!
-0.15e^(-0.26x) = -0.15·∑(-0.26x)ⁿ/n!
Nuestra serie de potencia es entonces:
S₁ = -0.15·∑(-0.26x)ⁿ/n!
Lo mismo se hace para el segundo termino y tenemos:
S₂ = 2.15·∑(-3.73x)ⁿ/n!
Nos piden los 5 primeros términos, lo haremos de manera individual, para ello le debemos dar valores a la serie, desde n = 0 hasta n = 4, ya que son los primeros 5 términos.
Primera serie de potencia:
S₁ = -0.15 - 0.15·(-0.26x)¹/1! - 0.15·(-0.26x)²/2! - 0.15·(-0.26x)³/3! - 0.15·(-0.26x)⁴/4!
Segunda serie de potencia:
S₂ = 2.15 + 2.15·(-3.73x)¹/1! + 2.15·(-3.73x)²/2! - 2.15·(-3.73x)³/3! - 2.15·(-3.73x)⁴/4!
Teniendo de esta manera los 5 primeros términos de la serie de potencia, para simplificar se puede sumar y realizar operaciones, esto se dejara para el usuario.
St = S₁ + S₂
NOTA: para obtener la serie de potencia se deben aplicar propiedades básicas de la serie de potencia.