El 60% de los tornillos producidos por una fábrica proceden de la máquina A y el 40% de la máquina B. La proporción de defectuosos en A es 0.1 y en B es 0.5. ¿Cual es la probabilidad de que, sabiendo que un tornillo es defectuoso, proceda de la máquina A?
Respuestas
A: tornillo fabricado por la máquina A
B: tornillo fabricado por la máquina B
Los valores de las probabilidades de estos sucesos son conocidos: P(A)=0,6 y P (B)=0,4.
Los resultados de la segunda etapa son:
D: tornillo defectuoso
Dn: tornillo no defectuoso
Las probabilidades de estos sucesos dependen del resultado de la primera etapa:
P(D/A)=0,1 P(D/B)=0,5
A partir de estos valores podemos determinar también:
P(Dn/A)=1-P(D/A)=1-0,1=0,9
P(Dn/B)=1-P(D/B)=1-0,5=0,5
El suceso D se puede indicar como: D=DA+DB, que son dos sucesos mutuamente
excluyentes; luego, utilizando el teorema de las probabilidades totales:
P(D)=P(D/A)P(A)+P(D/B)P(B)=(0,1)(0,6)+(0,5)(0,4)=0,26
Esto responde a la primera pregunta.
La otra probabilidad es P(A/D), probabilidad de un resultado de la primera etapa
condicionada a un resultado de la segunda; podemos aplicar el teorema de Bayes:
P (D/A) P(A)
P(A/D) = ____________________________
P (D/A) P (A) + P (D/B) P (B)
= (0,1)(0,6) / [(0,1)(0,6) + (0,5)(0,4)] = 3/13 = 0,23
Hay una probabilidad de 0.23 que un tornillo seleccionado al azar de la fábrica y que resultó ser defectuoso, proceda de la máquina A.
Explicación:
Vamos a definir los siguientes eventos:
C: el tornillo es defectuoso
D: el tornillo procede de la máquina A
Esta es una probabilidad condicionada, ya que se quiere la probabilidad de ocurrencia del evento D (el tornillo procede de la máquina A) dado que el evento C (el tornillo es defectuoso) ya ocurrió.
Dados dos eventos C y D, la probabilidad de que ocurra D dado que el evento C ya ocurrió viene dada por:
P(D|C) = P(D∩C)/P(C)
Necesitamos conocer
La probabilidad de C, es decir, la probabilidad de que el tornillo es defectuoso
Probabilidad que la pieza sea de la máquina A = (0.1)(0.6) = 0.06
Probabilidad que la pieza sea de la máquina B = (0.5)(0.4) = 0.20
P(C) = 0.06 + 0.20 = 0.26
La probabilidad de la intersección de ambos eventos, es decir, la probabilidad de que un tornillo sea defectuoso y provenga de la máquina A:
P(D∩C) = 0.06
Ahora podemos responder la interrogante planteada aplicando la fórmula de probabilidad condicionada:
P(D|C) = P(D∩C)/P(C) = [0.06]/[0.26] = 0.23
Hay una probabilidad de 0.23 que un tornillo seleccionado al azar de la fábrica y que resultó ser defectuoso, proceda de la máquina A.
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