Un mecánico de moto, envió a fabricar la tapa del tanque de combustible de forma circular, el diámetro de la tapa es de 4 Centímetros, sin embargo, en un extremo necesita un área cuadrada para ajustar la tapa y que este no se caiga, como se ilustra en la siguiente figura
De acuerdo al siguiente problema,
· ¿Cuál es el área total del cuadrado que esta sombreado?
· ¿Cuál es su perímetro?, representa el diagrama utilizando Geogebra.
Respuestas
Datos:
Radio (r) = 4 cm
El área del círculo (A1) se obtiene mediante la siguiente relación:
A1 = π r²
A1 = π x (4 cm)² = π x 16 cm² = 50,2654 cm²
A1 = 50,2654 cm²
El área del cuadrado (A2) se calcula multiplicando sus lados que son idénticos.
A2 = (4 – x)( 4 – x) = (4 – x)²
A2 = (4 – x)²
El Perímetro (P) del cuadrado es la suma de sus lados o aristas.
P = 4(4 – x) = 16 – 4x
P = 16 – 4x
Del área total del círculo se resta la porción donde se encuentra el cuadrado.
Asc = A1 – 3/4A1
Asc = 1/4A1
Asc = 1/4(50,2654 cm²) = 12,5663 cm²
Asc = 12,5663 cm²
El área del cuadrado se puede obtener por el Teorema de Pitágoras.
(4 cm)² = (4 – x)² + (4 – x)² = 2(4 – x)²
16 cm² = 2(16 – 8x + x²) = 32 – 16x + 2x²
2x² – 16x + 16 = 0 (Ecuación de Segundo Grado)
X = -(-16) ± √[(-16)² – 4(2)(16)] ÷ 2(2) = 16 ± √(256 – 128) ÷ 4 = 16 ± √(128) ÷ 4 = (16 ± 11,3137) ÷ 4
Las raíces son:
X₁ = (16 + 11,3137) ÷ 4 = 27,3137 ÷ 4 = 6,8284 cm
X₁ = 6,8284 cm
X₂ = (16 - 11,3137) ÷ 4 = 4,6862÷ 4 = 1,1715 cm
X₂ = 1,1715 cm
Obviamente se desecha la X₁ por ser superior al radio, por lo que el valor de X es 1,1715 cm.
Esto indica que cada lado (l) del cuadrado mide:
l = 4 – X = 4 cm – 1,1715 cm = 2,8284 cm
l = 2,8284 cm
El área del cuadrado es:
A = l² = (2,8284 cm)2 = 8 cm²
A = 8 cm²
El Perímetro del cuadrado es:
P = 4l = 4 x 2,8284 cm = 11,3137 cm
P = 11,3137 cm