Question

Aplicaciones de la derivada.

1. Encontrar dos números reales positivos, tales que sumen 72 y su producto sea máximo. Los números, son: ___ y ____.

2. Hallar dos números reales positivos, tales que su producto sea 75 y su suma sea mínima. Los números, son ___ y ___.

3. Una compañía electrónica fabrica tarjetas para micro computadores, y estima que su ganancia G, puede modelarse como función del número x de tarjetas, producidas y vendidas por semana, de la siguiente forma G(x) = 1500 + 300$x^{3}$. ¿Cuantas tarjetas por semana deben fabricar y vender, para maximizar la ganancia? X = ?

4. Encontrar las dimensiones del rectángulo de área 64cm2, tal que el perímetro sea mínimo.
Largo: ___ cm.
Ancho: ___ cm.

5. La potencia eléctrica P (en vatios), producida por una fuente, esta dada por la ecuación P(R) = 16R - $\frac{4}{3}$ R^3 , donde R es la resistencia (en ohmios) en el circuito. Para qué resistencia R, es máxima la potencia en este circuito? Cuál es la potencia máxima? (Tenga en cuenta que no consideramos resistencias negativas)
R= ___ Ohmios
P = ___ Vatios

Answer 1

Respuesta.

1) Para resolver este problema se tiene que la función a maximizar es:

f(x) = xy

Ahora se tiene el caso en el que:

x + y = 72

y = 72 - x

Sustituyendo:

f(x) = x(72 - x)

Se deriva:

f'(x) = 72 - x - x = 72 - 2x

Se iguala a cero:

72 - 2x = 0

x = 36

y = 72 - 36 = 36

2) Las ecuaciones son:

xy = 75

x + y

Sustituyendo:

f(x) = x + 75/x

f'(x) = 1 - 75/x²

0 = 1 - 75/x²

x = 8.66

y = 75/8.66 = 8.66

3) En este caso se deriva la función G(x) y se iguala a 0.

G(x) = 1500 + 300x³

G'(x) = 900x²

0 = 900x²

x = 0

Esta función no posee un punto máximo, por lo que es imposible responder esta pregunta.

4) La ecuación del perímetro es:

P = 2x + 2y

A = xy

64 = xy

y = 64/x

Sustituyendo se tiene que:

P = 2x + 2*(64/x)

P = 2x + 128/x

Derivando:

P' = 2 - 128/x²

0 = 2 - 128/x²

x = 8 cm

y = 64/8 = 8 cm