Aplicaciones de la derivada.
1. Encontrar dos números reales positivos, tales que sumen 72 y su producto sea máximo. Los números, son: ___ y ____.
2. Hallar dos números reales positivos, tales que su producto sea 75 y su suma sea mínima. Los números, son ___ y ___.
3. Una compañía electrónica fabrica tarjetas para micro computadores, y estima que su ganancia G, puede modelarse como función del número x de tarjetas, producidas y vendidas por semana, de la siguiente forma G(x) = 1500 + 300
. ¿Cuantas tarjetas por semana deben fabricar y vender, para maximizar la ganancia? X = ?
4. Encontrar las dimensiones del rectángulo de área 64cm2, tal que el perímetro sea mínimo.
Largo: ___ cm.
Ancho: ___ cm.
5. La potencia eléctrica P (en vatios), producida por una fuente, esta dada por la ecuación P(R) = 16R -
R^3 , donde R es la resistencia (en ohmios) en el circuito. Para qué resistencia R, es máxima la potencia en este circuito? Cuál es la potencia máxima? (Tenga en cuenta que no consideramos resistencias negativas)
R= ___ Ohmios
P = ___ Vatios
Respuestas
Respuesta dada por:
3
Respuesta.
1) Para resolver este problema se tiene que la función a maximizar es:
f(x) = xy
Ahora se tiene el caso en el que:
x + y = 72
y = 72 - x
Sustituyendo:
f(x) = x(72 - x)
Se deriva:
f'(x) = 72 - x - x = 72 - 2x
Se iguala a cero:
72 - 2x = 0
x = 36
y = 72 - 36 = 36
2) Las ecuaciones son:
xy = 75
x + y
Sustituyendo:
f(x) = x + 75/x
f'(x) = 1 - 75/x²
0 = 1 - 75/x²
x = 8.66
y = 75/8.66 = 8.66
3) En este caso se deriva la función G(x) y se iguala a 0.
G(x) = 1500 + 300x³
G'(x) = 900x²
0 = 900x²
x = 0
Esta función no posee un punto máximo, por lo que es imposible responder esta pregunta.
4) La ecuación del perímetro es:
P = 2x + 2y
A = xy
64 = xy
y = 64/x
Sustituyendo se tiene que:
P = 2x + 2*(64/x)
P = 2x + 128/x
Derivando:
P' = 2 - 128/x²
0 = 2 - 128/x²
x = 8 cm
y = 64/8 = 8 cm
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