Cotas superiores para errores en las aproximaciones lineales Determine la linealización de (, ) de la función (, ) en 0. Luego determine una cuota superior para la magnitud || del error de la aproximación (, ) ≈ (, ) en el rectángulo .
(, ) =
2 − 3 + 5 en 0
(2,1),
: | − 2| ≤ 0.1, | − 1| ≤ 0.1
Respuestas
RESPUESTA:
Pregunta completa en el link de abajo.
Para linealizar hay que aplicar la siguiente ecuación, tenemos que:
L(x,y) = f(x₀,y₀) + fx(x₀,y₀) ·(x-x₀) + fy(x₀,y₀)·(y-y₀)
Buscaremos inicialmente la función evaluada en el punto, tenemos:
f(2,2) = 0.5(2)² + (2)(2) + 0.25(2)² + 3(2) - 3(2) + 4 = 11
Ahora derivamos respecto a x y evaluamos, tenemos:
fx = x + y + 3 ∴ fx(2,2) = 2 + 2 +3 = 7
fy = x + (1/2)· y -3 ∴ fy(2,2) = 2 + 1/2 · 2 - 3 = 0
Ahora encontramos la linealización, tenemos:
L(x,y) = 11 + 7·(x-2) + 0·(y-2)
L(x,y) = 7x -3
Ahora procedemos a calcular el error, el cual tiene la siguiente formar:
E(x,y) = 1/2 · M · |x-x₀| · |y-y₀|
De tal manera que debemos buscar el valor máximo (M) para ello buscaremos las segundas derivadas, recordemos que ya tenemos la primera derivadas, tenemos:
- fxx = 1
- fyy = 1/2
- fxy = 1
- fyx = 1
Podemos observar que en este caso el máximo viene siendo M = 1, empleamos la ecuación y tenemos:
E(x,y) = 1/2 · 1 · |0.1| · |0.1|
E(x,y) = 0.5 %
Por tanto el modulo del error máximo viene dado por el 0.5 %.
NOTA: Recordemos que por nomenclatura fx significa la función derivada respecto a x, fy es la función derivada respecto a y, fxx es la segunda derivada respecto a x, fyy es la segunda derivada respecto a y, y finalmente fxy y fyx son derivadas cruzadas.
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