Question

Sea f(x)= 1/x,

a) Demuestre que si y=mx+nn es la ecuación de la recta que pasa por (x1,f(x1)) y por (x2,f(x2)), 0<x1<x2 entonces f(x) =< mx+n y 0 < Integral desde x1 a x2 de (1/x)dx < Integral de x1 a x2 de (mx+n)dx = A

b) Aplique el Teorema del Valor Medio para f(x) en el intervalo [x1,x2] y determine el numero c ∈ ]x1,x2[ para el cual ( (f(x2)-f(x1)) / (x2-x1) ) = f ' (c) y demuestre que para y = f ' (c) (x-c) + 1/c se verifica y(x) =< f(x)y

B= Integral de x1 a x2 de ( f ' (c) (x-c) + 1/c )dx < Integral de x1 a x2 de (1/x)dx

c) Calcule A y B para aproximar las siguientes integrales:
Integral de 1/2 a 1 de (1/x)dx ;
Integral de 1 a 2 de (1/x)dx ;

Integral de 1 a 3 de (1/x)dx

 

Agradezco la ayuda, saludos!

 

Answer 1

 f(x)= 1/x

a) Demuestre que si y=mx+nn es la ecuación de la recta que pasa por (x1,f(x1)) y por (x2,f(x2)), 0<x1<x2 entonces f(x) =< mx+n y 0 < Integral desde x1 a x2 de (1/x)dx < Integral de x1 a x2 de (mx+n)dx = A

b) Aplique el Teorema del Valor Medio para f(x) en el intervalo [x1,x2] y determine el numero c ∈ ]x1,x2[ para el cual ( (f(x2)-f(x1)) / (x2-x1) ) = f ' (c) y demuestre que para y = f ' (c) (x-c) + 1/c se verifica y(x) =< f(x)y

c) Calcule A y B para aproximar las siguientes integrales:

Integral de 1/2 a 1 de (1/x)dx  

Ln 1 - Ln 1/2= 0.6931

 

Integral de 1 a 2 de (1/x)dx ;

Ln 2 - Ln 1 = 0.6931

 

Integral de 1 a 3 de (1/x)dx

Ln 3 - ln 1 = 1.0986