Respuestas
Hay muchas razones, que obligaron a su introducción, nos centraremos en la original. La razón de origen, fue motivada por el uso de cálculos geométricos que aparecían en la época griega relacionados con el llamado número áureo o número de oro, el cual era el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado del mismo, que coincidía con la razón entre el segmento mayor y el menor de un segmento AB, dividido por un punto C, interior al mismo, en proporción áurea, es decir cumpliendo que AC/CB = AB/AC.
Otro problema que se relacionó con su introducción, fue el cálculo de la diagonal de un cuadrado de lado uno, que por el teorema de Pitágoras conduce al número sqr(2), que por un razonamiento análogo al anterior tampoco es un número racional.
También justifico su introducción, la necesidad de asociar a todo segmento orientado de la recta con origen un punto fijo de la misma, y con respecto a un segmento tomado como unidad, un número único (su longitud) y recíprocamente.