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Nació en Toro, distrito de la provincia de La Unión, Arequipa, en un hogar de agricultores. Cursó sus estudios primarios en su pueblo natal, y los secundarios en el Colegio Nacional San Luis Gonzaga de Chuquibamba - Arequipa. En 1920 se trasladó a Lima, donde se relacionó con el médico Hermilio Valdizán y el químico Ángel Maldonado, con quienes compartió sus conocimientos de medicina popular. Sobre ese tema colaboró entre 1921 y 1923 en la Revista de Psiquiatría y Ciencias Conexas, cuyo director era entonces el doctor Honorio Delgado.
En 1924 ingresó a trabajar con el doctor Julio C. Tello en el Seminario de Antropología de la Universidad Mayor de San Marcos. Bajo la orientación del mismo Tello, pasó al servicio del Museo de Arqueología Peruana como preparador (1925-1929) y conservador (1929-1931). Ejerció luego como auxiliar del Instituto de Investigaciones Antropológicas, una rama de dicho museo (1931-1945). Convertido este museo en Museo Nacional de Antropología y Arqueología, Mejía asumió como jefe de su Departamento de Exploraciones Arqueológicas (1945-1947). En 1947 fue nombrado subdirector del Museo, cargo que ocupó hasta su jubilación en 1966, cuando fue nombrado director emérito. Simultáneamente fue Inspector General de Monumentos Arqueológicos (1947-1948) y catedrático de Arqueología Incaica en la Universidad de San Marcos (1946-1953).
En lo que respecta al trabajo de campo arqueológico, participó en las excavaciones realizadas en Asia y Paracas (1925-1926), Ica (1927) y nuevamente en Paracas (1927-1930), apoyando a Tello. Entre 1930 y 1937 recorrió el valle del Mantaro, así como los valles del Rímac, Nepeña y Casma, lugares todos donde realizó importantes descubrimientos. En Cumbemayo (Cajamarca) descubrió un acueducto megalítico. En 1941 excavó en Chavín de Huántar, donde organizó el primer museo de sitio del Perú. En 1942 excavó diversos sitios ubicados en los valles del Mantaro, Apurímac y Urubamba. Por esa misma época realizó excavaciones en Pachacámac y en 1945 tomó parte en las excavaciones de Ancón, actividad que continuó hasta después de la muerte de Tello en 1947. Entre 1957 y 1960 realizó exploraciones y excavaciones en los valles de Ica y Piura.