Respuestas
1) Una función presenta un máximo si su primera derivada inmediatamente a la izquierda del punto crítico es positiva y a la derecha es negativa. A la inversa si hay un mínimo.
Una función presenta un máximo en un punto si su segunda derivada es negativa y su tercera derivada distinta de cero en ese punto. A la inversa si es positiva.
El criterio de la segunda derivada es el más fácil de aplicar
a) f'(x) = 6 x² + 6 x - 12
Condición necesaria de máximo o mínimo: f'(x) = 0
6 x² + 6 x - 12 = 0; resuelvo directamente: x = - 2; x = 1
Prueba de la primera derivada.
x = - 2,01 (izquierda): f'(x) = 0,18 positiva
x = - 1,99 (derecha): f'(x) = - 0,18 negativa
En x = - 2 hay un máximo:
Su valor es f(x) = 21
Para x = 1
x = 0,9 (izquierda): f'(x) = - 1,74 (negativa)
x = 1,1 (derecha: f'(x) = 1,86 (positiva)
En x = 1 hay un mínimo
Vale f(x) = - 6
Se adjunta gráfico
b) g'(x) = 4 x³ - 24 x² = 0
En x = 0 presenta ceros múltiples. No hay máximo ni mínimo. Hay un punto de inflexión
Queda 4 x - 24 = 0; o sea x = 6
x = 5,9 (izquierda): g'(x) = - 13,9 (negativa)
x = 6,1 (derecha): g'(x) = 14,9 (positiva)
En x = 6 hay un mínimo.
Vale g(x) = - 432
Adjunto gráfico con escalas adecuadas.
c) F'(x) = - 4 x / (x² + 3)² = 0
Presenta un solo cero en x = 0
No son necesarias pruebas.
La izquierda de x = 0, F' es positiva y a la derecha es negativa
Hay un máximo en x = 0
Vale F(x) = 2/3 = 0,667
Adjunto gráfico con escalas adecuadas.
d) h'(x) = 3 (x - 1)²
Presenta un solo cero en x = 1
Pero h'(x) es siempre positiva excepto para x = 1
Por lo tanto no hay máximo ni mínimo.
Se adjunta gráfico.
Saludos Herminio
