Question

1.Suponga que la carga de un condensador C (Faradios) se define por:

C\left(t\right)=\ \frac{e^t}{9+e^t}-\frac{1}{10}

Donde (t) es el tiempo en segundos.
Encuentre el valor de carga del condensador para 1, 2, 3 y 4 segundos
Determine la capacidad de carga del condensador.

2. Durante una Reacción química en la cual una sustancia A se descompone, la masa (en gramos) de A restante en un tiempo t está dada por
m\left(t\right)=\ \frac{1}{4}t^2-3t-9\ (t-2)\ \ .

Encuentre desde los límites a m´(t) e interprete esta cantidad. Evalúe m´(6).

m´t=limh→0mt+h-m(t)h

Answer 1

RESPUESTA:

Tenemos que para el primer ejercicio debemos evaluar la función, de tal manera que tenemos:

C(t) = (e^t/9+e^t)  - 1/10

Procedemos  evaluar para cada tiempo, tenemos que:

• C(1) = (e¹/9+e¹)  - 1/10 = 0.13 F
• C(2) = (e²/9+e²)  - 1/10 = 0.35 F
• C(3) = (e³/9+e³)  - 1/10 = 0.59 F
• C(4) = (e⁴/9+e⁴)  - 1/10 = 0.75 F

Para calcular la capacidad de carga debemos buscar el limite cuando el tiempo tiende a infinito, tenemos que:

Lim(t-∞) (e^t/9+e^t)  - 1/10 = 1 - 1/10 = 0.9 F

Por tanto la capacidad de carga es de 0.9 F

Para el segundo ejercicio tenemos que obtener el limite de la función, sin embargo debemos encontrar la función evaluada en los desplazamientos, tenemos:

m(t) = 1/4·t² - 3t - 9(t-2)

m(t+h) = 1/4·(t+h)² - 3(t+h) - 9(t+h-2)

Simplificamos cada expresión y tenemos:

m(t) = 1/4·t² - 3t - 9t +18 = 1/4·t² - 12t + 18

m(t+h) = 1/4·t² + 1/2·t·h + 1/4·h² - 3t-3h - 9t - 9h + 18

Buscamos entonces la derivada aplicando el limite cuando h tiende a cero, tenemos:

lim(h-0) [-1/4·t² + 12t - 18 + ( 1/4·t² + 1/2·t·h + 1/4·h² - 3t-3h - 9t - 9h + 18)]/h

Simplificamos los términos que se pueden cancelar.

lim(h-0) (+1/2·t·h - 1/4h² - 3h - 9h)/h

Sacamos factor común h, tenemos:

m'(t) = lim(h-0) h·(+1/2·t - 1/4·h - 12)/h = +1/2·t - 12

Por tanto la derivada de la expresión es:

m'(t) = 1/2·t - 12

Eevaluamos ahora la expresión en t = 6, tenemos:

m(6) = 1/2· (6) - 12

m(6) = -9

Obteniendo la derivada y su forma evaluada.