Question

Dos números positivos se diferencian en 5 unidades. La suma de sus recíprocos es 9/14. Halle ambos números.

Answer 1

Hola ,

Hay 2 incógnitas , por lo tanto para resolver el problema se necesita un sistema de 2 ecuaciones :

"x" : Un número positivo
"y" : Otro número positivo

De la primera oración , planteamos :

i) x - y = 5           // Se diferencian en 5 unidades , suponemos x>y 

El recíproco de un número es x es 1/x , entonces la suma de sus recíprocos :

$ii) \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{9}{14}$

Multiplicando por xy 

$ii) y + x = \frac{9xy}{14}$

Ahora hay que resolver el sistema de ecuaciones , por el método de sustitución , despejamos "x" en la ecuación i) :

i ) x = 5 + y

Luego reemplazamos en la ecuación ii) :

$y + ( 5 + y) = \frac{9(5+y)y}{14} / * 14 \\ \\ 14y + 14(5+y) = 45y+9y^{2} \\ \\ 14y + 70 + 14y = 45y+9y^{2} \\ \\ 9y^{2} + 17y - 70 = 0$

(*************************************Recordatorio*********

Para hallar la solución hay que resolver la ecuación de 2° grado , la solución de cualquier ecuación de segundo grado de la forma :

Ax² + Bx + C  = 0

Son :

$x_{1} = \frac{-B + \sqrt{B^{2} - 4AC} }{2A} \\ \\ x_{2} = \frac{-B - \sqrt{B^{2} - 4AC} }{2A}$


Para nuestra ecuación :
A = 9
B = 17
C = -70

*******************************************************)
Resolviendo la ecuación de segundo grado : 

$y_{1} = \frac{-17 + \sqrt{17^{2} - 4*9*-70} }{2*9} \\ \\ y_{1} = \frac{-17 + 53}{18} = 2 \\ \\ y_{2} = \frac{-17-53}{18} = \frac{-70}{18}$

Vamos a descartar la segunda solución ya que del enunciado se buscan números positivos , hallamos el valor de "y" que es 2.

Sustituyendo en la ecuación i) :

x - 2 = 5
x = 7

R : Los números son 2 y 7.

Saludos.