7. Demostrar que f(x) = x5 - 2x2 – 6 tiene una raíz en [1, 2] y utilizando el Método de Bisección determine una aproximación a la raíz con una precisión de al menos 10-3.
Respuestas
RESPUESTA:
Inicialmente tenemos que el método de bisección nos indica que:
Xr = (Xa+ Xb)/2
Xb = f(Xa)·f(Xr)
Nuestra función es la siguiente:
f(x) = x⁵ -2x² - 6
Este proceso lo debemos realizar en varias interciones, sin emabrgo nos indican que la precisión debe ser al menos de 10⁻³, entonces:
E < b-a/2ⁿ
Despejamos el valor de n, tenemos;
10⁻³ = (2-1)/2ⁿ
2ⁿ = 1/10⁻³
n = 9.96
Por tanto, se deben hacer al menos 10 iteraciones.
1- Iniciamos con el intervalo [1,2]
Xr = (1+2)/2 = 1/2
Xb = [(1)⁵ -2(1)²-6]·[(0.5)⁵ -2(0.5)²-6] = 45.28 > 0
Como Xb > 0, entonces Xr = Xa
2- Aplicamos siempre el mismo proceso. Intervalo [0.5;2].
Xr = (0.5+2)/2 = 1.25
Xb = [(1.25)⁵ -2(1.25)²-6]·[(0.5)⁵ -2(0.5)²-6] = 39.28 > 0
Como Xb > 0, entonces Xr = Xa
3- Intervalo [1.25;2].
Xr = (1.25+2)/2 = 1.625
Xb = [(1.25)⁵ -2(1.25)²-6]·[(1.625)⁵ -2(1.625)²-6] = -0.30 < 0
Como Xb < 0, entonces Xr = Xb
4- Intervalo [1.25,1.625]
Xr = (1.25+1.625)/2 = 1.4375
Xb = [(1.25)⁵ -2(1.25)²-6]·[(1.473)⁵ -2(1.473)²-6] = 20.68 > 0
Como Xb > 0, entonces Xr = Xa
5- Intervalo [1.4375;1.625]
Xr = (1.4375+1.625)/2 = 1.53125
Xb = [(1.53125)⁵ -2(1.53125)²-6]·[(1.473)⁵ -2(1.473)²-6] = 7.73 > 0
Como Xb > 0, entonces Xr = Xa
6- Intervalo [1.53125;1.625]
Xr = (1.53125+1.625)/2 = 1.578125
Xb = [(1.53125)⁵ -2(1.53125)²-6]·[(1.578125)⁵ -2(1.578125)²-6] = 2.70 > 0
Como Xb > 0, entonces Xr = Xa
7- Intervalo [1.578125;1.625]
Xr = (1.578124+1.625)/2 = 1.601
Xb = [(1.601)⁵ -2(1.601)²-6]·[(1.578125)⁵ -2(1.578125)²-6] = 0.72 > 0
Como Xb > 0, entonces Xr = Xa
8- Intervalo [1.601;1.625]
Xr = (1.601+1.625)/2 = 1.613
Xb = [(1.601)⁵ -2(1.601)²-6]·[(1.613)⁵ -2(1.613)²-6] = 0.17 > 0
Como Xb > 0, entonces Xr = Xa
9- Intervalo [1.613;1.625]
Xr = (1.613+1.625)/2 = 1.619
Xb = [(1.619)⁵ -2(1.619)²-6]·[(1.613)⁵ -2(1.613)²-6] = 0.0338 > 0
Como Xb > 0, entonces Xr = Xa
10- Intervalo [1.619;1.625]
Xr = (1.619+1.625)/2 = 1.622
Xb = [(1.619)⁵ -2(1.619)²-6]·[(1.622)⁵ -2(1.622)²-6] = 0.00416 > 0
Llegamos a nuestra décima iteración y podemos decir que nuestra raíz tiene el valor de 1.622.
El valor real de la raíz es de 1.6232 por tanto podemos observar que tuvimos una buena aproximación.