Question

Entregados los vectores v=(1,-1,0) y w=(1,1,0).
Encontrar el vector u que cumpla las siguientes condiciones:
l) u ortogonal al vector b
ll) modulo de u = 4
lll) el ángulo entre el vector u y el vector w es 60°

Answer 1

l) u ortogonal al vector v

$\vec u=(a,b,c)\\\vec v=(1,-1,0)\\\\\vec u \perp \vec v :\\\vec u \bullet \vec v =0\\(a,b,c)\bullet(1,-1,0)=0\\a-b=0\\a=b$

ll) modulo de u = 4

$4=|\vec u|=\mathbf {u}=\sqrt{a^2+b^2+c^2}=\sqrt{a^2+a^2+c^2}=\sqrt{2a^2+c^2}\\\\\sqrt{2a^2+c^2}=4$

lll) el ángulo entre el vector u y el vector w es 60°

$\vec u \bullet \vec w=\mathbf u \mathbf w\,Cos\,60\º\\\\\mathbf u =4 ,\qquad \mathbf w=\sqrt{1+1+0}=\sqrt2, \qquad Cos\,60\º=\frac{1}{2}\\\\\mathbf u \mathbf w\,Cos\,60\º=(4)(\sqrt2)(\frac{1}{2})=2\sqrt2\\\\\text{a su vez}\qquad \vec u \bullet \vec w=(a,a,c)\bullet(1,1,0)=2a \\\\ 2a=2\sqrt2\\\\a=\sqrt2=b$

de la parte II) obtendremos el valor de c ya que ahora conocemos a y b:

$\sqrt{2a^2+c^2}=4\\\\\sqrt{2(\sqrt2)^2+c^2}=4\\\\\sqrt{4+c^2}=4\\\\4+c^2=16\\\\c=\sqrt{16-4}\\\\c=2\sqrt3$

ya conocemos los 3 componentes del vector u:

$\vec u=(a,b,c)\\\\ \boxed {\vec u=(\sqrt2,\sqrt2,2\sqrt3)}$