Question

Se usa una banda transportadora para mover arena de un lugar a otro en una fábrica. El transportador está inclinado en un ángulo de 53 ° de la horizontal, y la arena se mueve sin fricción en la banda a una velocidad de 20 m/s. La arena se recolecta en un recipiente grande que está 5.00 m debajo del extremo de la banda transportadora. Determine la distancia horizontal entre el extremo de la banda transportadora y la boca del recipiente recolector para que la arena caiga sobre el recipiente y no en el suelo.

Answer 1

Para plantear este problema lo primero es saber que se trata de un tiro parabólico y se nos pide calcular la distancia horizontal a la que se debe poner la boca del recipiente recolector respecto al extremo de la cinta transportadora, es decir, el alcance máximo del cuerpo, en este caso la arena. Por lo que necesitamos conocer primero el tiempo de vuelo, el tiempo que pasa la arena en el aire hasta que llega a la boca del recipiente, por lo tanto una vez tengamos el tiempo de vuelo usamos la fórmula de la velocidad,

$v=s/t$;

donde la velocidad será la velocidad en el eje 'x' , y el tiempo será el tiempo de vuelo, que calcularemos a partir de la siguiente ecuación.

Debemos de tener en cuenta que a continuación trabajaremos con el eje 'y';

$y=H+v_{o} *sen\alpha *t+\frac{1}{2} at^{2} ;$

siendo H=5m y la velocidad inicial 20 m/s y la aceleración la gravedad(-9'8),también sabemos que y=0 ya que estará en el suelo;$0=5+20*sen(53)*t+\frac{1}{2} (-9'8)*t^{2}$;

de donde nos quedará la siguiente ecuación de segundo grado;

$4'9t^{2} -15'97t-5=0$; de donde despejamos t y nos da;

$t=3'54 s$

por lo tanto ya tenemos el tiempo de vuelo que utilizaremos para calcular el espacio horizontal;

$s=v_{x} *t$;

$s=12'03*3'54$;

$s=42'58m$

por lo tanto la boca del recipiente se encontrará a 42'58m.

Espero que te sirva de ayuda, por cierto las velocidades de cada eje se calculan de la siguiente forma;

$v_{x} =v_{o} *cos(\alpha );v_{x} =20*cos(53)=12'03m/s$

y en el eje y;

$v_{y} =v_{o}*sen(\alpha )$;

$v_{y} =20*sen(53)=15'97m/s$