Question

7. Uno de los métodos de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden es el factor de integración, el cual involucra a un factor I(x,y), que al multiplicar la E.D.O. la transforma permitiendo resolverse por integración directa o la convierte en una E.D.O. exacta. Es decir, si se cumple que I(x,y)[M(x,y)dx+N(x,y)dy]=0 es exacta.
Un procedimiento para suministrar un medicamento en la sangre, es hacerlo de forma constante mediante una técnica de inyección llamada infusión intravenosa. Este método puede ser modelado mediante la ecuación diferencial PdC-(J-kC(t))dt=0, donde C(t)= Concentración del fármaco en cada instante t, además P, J y k son constantes positivas que representan las características del proceso y condiciones específicas del paciente.
Dada la información anterior se puede afirmar que:
Al resolver el modelo que cumple con la condición inicial C(0)=1 se obtiene:

1. La solución general, la cual es Pe^(kt/P) C-JP/k e^(kt/P)=α
2. La solución particular, la cual es C(t)=1/e^(k/P t) (1-J/k+J/k e^(k/P t) )
3. La solución general, la cual es Pe^(-kt) C+JP/k e^(-kt)=α
4. La solución particular, la cual es C(t)=J/k (1-e^(-kt/P) )

Answer 1

Tenemos la ecuación:

PdC-(J-kC(t))dt=0

Ahora para calcular el factor de integración tenemos que:

M= P

N= J-KC(t)

De modo que:

MdC + Ndt=0

Mc = 0

Nc =K(t)/P

De modo que como la función queda solo en función de Y, podemos decir que el factor de integración es:

P(t) = K(t)-0/P.

P(t) = k(t)/P

De modo que el factor de integración será

$e^{\int{k(t)/P} \, dt}$

$e^{\frac{kt{2}/P}{2}$

multiplicamos ambas expresiones por el factor de integración y nos queda que:

$e^{\frac{kt{2}}{2P}} (P)dC+e^{\frac{kt{2}}{2P}}(J-KC(t))dt =0$

Como podemos ver ahora la ecuación si es exacta y las derivadas parciales correspondientes son:

$Mt = e^{\frac{kt{2}}{2P}} k(t)$

$Nc = e^{\frac{kt{2}}{2P}} k(t)$

Entonces procedemos a calcularla como una EDO exacta.

Integramos M respecto a c.

$f= \int e^{\frac{kt{2}}{2P}} (P) dC = e^{\frac{kt{2}}{2P}} (P) C+g(t)$

ahora procedemos a derivar la función respecto de (t)

$fy = d(e^{\frac{kt{2}}{2P}} (P) C) /dt = e^{\frac{kt{2}}{2P}}Ck(t) + g'(t)$

igualando :

$e^{\frac{kt{2}}{2P}}CK(t) + g'(t) = e^{\frac{kt{2}}{2P}}(J-KC(t))$

$g'(t) = e^{\frac{kt{2}}{2P}}(J)$

Ahora integramos a g'(t)

$g(t) = \int e^{\frac{kt{2}}{2P}}(J) dt  =e^{\frac{kt{2}}{2P}}\frac{J}{2T}$

Entónces la solución general es:

$f(c,t) =  e^{\frac{kt{2}}{2P}} (P) C+e^{\frac{kt{2}}{2P}}\frac{J}{2T}$

Por lo que podemos decir que la opción correcta es la opción 1.