Question

1. Una empresa encuentra que el ingreso generado por vender x unidades de cierto producto está dado por la función I(x)=180x-x2, donde el ingreso I(x) se mide en miles de dólares. Cuál es el ingreso máximo y cuantas unidades deben vender para obtener este máximo.

Answer 1

Máximo de una función: indica cuan máximo puede llegar a ser una función (cual es el mayor valor que puede tener) respecto a su variable independiente.

Para encontrar el máximo de una función hallamos la primera derivada, luego de tener los puntos críticos ( resultados de igualar la primera derivada a cero) evaluamos en la segunda derivada y por criterio de la segunda derivada se determina si es máximo o mínimo.

Derivamos la funcion:

$I(x) = 180x-x^{2}$

$I'(x) = 180-2x$

Igualamos a cero:

$I'(x) = 180-2x = 0$

$180= 2x$

$x= 180/2$

$x= 90$

El punto critico es x= 90

Hallamos la segunda derivada:

$I''(x) =-2$

$I''(90) =-2$

Por criterio de la segunda derivada si la segunda derivada evaluada en el punto critico es negativo entonces tenemos un máximo.

Calculamos le ingreso:

$I(x) = 180*90-(90)^{2}$

$I(x) =16200-8100 = 8100$

Se deben vender 90 unidades para alcanzar un ingreso máximo, y el ingreso máximo sera 8100 miles de dolares.