Question

Resuelva paso a paso las siguientes integrales y aplique las propiedades básicas de la integración, no se admite el uso de métodos de integración pues son estrategias que se usarán en la siguiente unidad.
6. ∫(5Sen(2θ)-3Tan(θ))/(Cos(θ)) dθ

Answer 1

En este caso solamente tendremos que acomodar función a una forma más sencilla. Todo esto lo haremos aplicando propiedades de funciones trigonométricas:

$\int(\frac{5Sen(2\alpha)-3Tan(\alpha)}{Cos\alpha})\,d\alpha$

Separamos en dos integrales:

$\int(\frac{5Sen(2\alpha)}{Cos\alpha})\, d\alpha -\int(\frac{3Tan\alpha}{Cos\alpha})\, d\alpha$

⭐INTEGRAL 1:

Usaremos la propiedad de ángulo doble:

sen2x = 2senx · cosx

Entonces:

5Sen(2α) = 5 · 2 · Senα · Cosα = 10Senα · Cosα

$\int(\frac{10Sen\alpha*Cos\alpha}{Cos\alpha})\,d\alpha=10\int\ Sen\alpha\,d\alpha=-10Cos\alpha+C$

⭐INTEGRAL 2:

Tanα = Senα/Cosα

Entonces: tanα/cosα = Senα/Cosα ÷ cosα = senα/cos²

$-\int(\frac{3Tan\alpha}{Cos\alpha})\, d\alpha=-3\int\ \frac{Sen\alpha}{Cos^{2}\alpha } \, d\alpha$

Cambio de variable: sea u = Cosα

du = -senα dα

$3\int\ \frac{1}{u^{2}}\, d\alpha=3\int\ u^{-2} \, du =3\frac{u^{-2+1} }{-2+1} +C=\frac{-3}{u}+C$

Devolvemos el cambio:

$\frac{-3}{Cos\alpha } +C=-3Sec\alpha+C$

⭐SOLUCIÓN

$\int(\frac{5Sen(2\alpha)-3Tan(\alpha)}{Cos\alpha})\, d\alpha=-10Cos\alpha-3Sec\alpha+C$