Un objeto se mueve a lo largo de un eje de coordenadas con una velocidad de v = 2t − t² unidades por segundo. Su posición en el instante t = 2 es 10 unidades a la derecha del origen. Hallar la posición del objeto 7 segundos más tarde. *
Respuestas
Un objeto se mueve a lo largo de un eje de coordenadas con una velocidad de v = 2t − t² unidades por segundo. Su posición en el instante t = 2 es 10 unidades a la derecha del origen. Hallar la posición del objeto 7 segundos más tarde.
Hola!!!
Algunas cuestiones Teóricas que debemos tener en cuenta en la resolución de este problema:
La velocidad ( V ) es la derivada del espacio recorrido ( X ) con respecto al tiempo ( t ), por lo tanto, integrando la función de la velocidad tendremos el espacio recorrido ( X ) :
∫v dt = ∫(2t − t²) dt ⇒ Propiedad de la suma
∫v dt = ∫ 2t dt + ∫− t² dt ⇒ Propiedad de la Constante
∫v dt = 2∫ t dt -∫ t² dt
Primitivas inmediatas:
∫ tⁿ dt = tⁿ⁺¹ / n + 1 ⇒
∫ t dt = t²/2
∫ t² dt = t³/3
Por lo tanto tendremos:
∫v dt = 2∫ t dt -∫ t² dt
∫ v dt = 2t²/2 - t³/3
∫ v dt = 2t²/2 - t³/3 + C (sumamos una Constante de Integración)
X(t) = 2t²/2 - t³/3 + C
El enunciado nos indica que: t = 2 X = 10
Por lo tanto para hallar la constante " C " sustituimos en la ecuación de la posición:
X(t) = 2t²/2 - t³/3 + C
X(2) = 2(2²)/2 - (2)³/3 + C
10 = 4 - 8/3 + C
10 - 4 + 8/3 = C
C = 6 + 8/3
C = 18/3 + 8/3
C = 26/3
Función de la Posición:
X(t) = 2t²/2 - t³/3 + 26/3
Posición 7 segundos más tarde = 2 + 7 = 9 segundos:
X(t) = 2t²/2 - t³/3 + 26/3
X(9) = 2(9)²/2 - (9)³/3 + 26/3
X(9) = 81 - 243 + 26/3
X(9) = -162 + 26/3
X(9) = -486/3 + 26/3
X(9) = -460/3 ⇒
Posición en el instante t = 9 s es X = -460/3
Espero haber ayudado!!
Saludos!!!