Question

Un objeto se mueve a lo largo de un eje de coordenadas con una velocidad de v = 2t − t² unidades por segundo. Su posición en el instante t = 2 es 10 unidades a la derecha del origen. Hallar la posición del objeto 7 segundos más tarde. *

Answer 1

Un objeto se mueve a lo largo de un eje de coordenadas con una velocidad de v = 2t − t² unidades por segundo. Su posición en el instante t = 2 es 10 unidades a la derecha del origen. Hallar la posición del objeto 7 segundos más tarde.

Hola!!!

Algunas cuestiones Teóricas que debemos tener en cuenta en la resolución de este problema:

La velocidad ( V ) es la derivada del espacio recorrido ( X ) con respecto al tiempo ( t ), por lo tanto, integrando la función de la velocidad tendremos el espacio recorrido ( X ) :

∫v dt = ∫(2t − t²) dt             ⇒ Propiedad de la suma

∫v dt = ∫ 2t dt + ∫− t² dt     ⇒ Propiedad de la Constante

∫v dt = 2∫ t dt -∫ t² dt  

Primitivas inmediatas:  

∫ tⁿ dt = tⁿ⁺¹ / n + 1   ⇒

∫ t dt = t²/2

∫ t² dt = t³/3

Por lo tanto tendremos:

∫v dt = 2∫ t dt -∫ t² dt  

∫ v dt = 2t²/2 - t³/3

∫ v dt = 2t²/2 - t³/3 + C        (sumamos una Constante de Integración)  

X(t) =  2t²/2 - t³/3 + C  

El enunciado nos indica que: t = 2     X = 10

Por lo tanto para hallar la constante " C " sustituimos en la ecuación de la posición:

X(t) =  2t²/2 - t³/3 + C  

X(2) = 2(2²)/2 - (2)³/3 + C

10 = 4 - 8/3 + C

10 - 4 + 8/3 = C

C = 6 + 8/3

C = 18/3 + 8/3

C = 26/3

Función de la Posición:  

X(t) =  2t²/2 - t³/3 + 26/3  

Posición 7 segundos más tarde = 2 + 7 = 9 segundos:

X(t) =  2t²/2 - t³/3 + 26/3  

X(9) = 2(9)²/2 - (9)³/3 + 26/3

X(9) = 81 - 243 + 26/3

X(9) = -162 + 26/3

X(9) = -486/3 + 26/3

X(9) = -460/3  ⇒

Posición en el instante t = 9 s  es   X = -460/3

Espero haber ayudado!!

Saludos!!!