Question

Una compañia de telefonos apila en sus almacenes 135 postes para el cableado de sus lineas de forma tal que la base tendra el doble de postes que la ultima capa, y la diferencia de postes entre cada una de las capas es igual a 1. ¿cuantos postes debe tener la ultima capa?

Answer 1

Una compañía de teléfonos apila en sus almacenes 135 postes para el cableado de sus lineas de forma tal que la base tendrá el doble de postes que la última capa, y la diferencia de postes entre cada una de las capas es de 1. ¿cuántos postes debe tener la ultima capa?

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Tenemos una progresión aritmética (PA) donde el valor de cada término equivale a la cantidad de postes que tiene cada capa y con los siguientes datos:

• Diferencia entre términos consecutivos d = 1  (un poste más en cada capa)
• Suma de términos de la PA = 135 postes en total ubicados en las distintas capas.

Pero también podemos relacionar el valor del primer término  a₁ y del último  an  ya que éste es el doble que el primero. Así pues,  an = 2a₁

Acudo a la fórmula del término general de cualquier PA:

$a_n=a_1+(n-1)*d\ \ ... sustituyendo...\\ \\ 2a_1=a_1+(n-1)*1 \\ \\ 2a_1-a_1=n-1\\ \\ a_1=n-1$

Voy ahora a la fórmula de suma de términos de cualquier PA y hago lo mismo:

$S_n=\dfrac{(a_1+a_n)*n}{2} \\ \\ \\ 135=\dfrac{3a_1*n}{2}\\ \\ \\ 270=3*(n-1)*n}\\ \\ n^2-n=90\\ \\ n^2-n-90=0$

Acudiendo a la fórmula de las ecuaciones cuadráticas ...

• n₁ = (1+19)/2 = 10
• n₂ = se desestima por salir  negativo y no ser válido para este ejercicio.
• 
  

Conociendo el valor de "n" que es el nº de capas de postes, vuelvo a la igualdad deducida anteriormente para saber el valor de a₁  donde decía que:

a₁ = n-1 = 10-1 = 9 postes tiene la primera capa

Sabiendo los postes de la primera capa, según el texto, la última tiene el doble, por tanto debe tener 18 postes, que es la solución al ejercicio.

Saludos.