Question

El valor promedio de una función f(x) integrable en [a,b] está dada por la suma de Riemman de la siguiente manera:

Halle el valor medio de la función ∫(2t-5)/t^3 en el intervalo [-3,-1].

Answer 1

$\textsf{El valor promedio de una funci\'on f(x)}\\\textsf{integrable en [a,b] esta}\\\textsf{esta dada por la suma de Riemman}\\f(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{b-a}\sum_{i=1}^{n}f(x_{i})\Delta x=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$

Asi usando la definicion anterior se tiene que:

$f(t)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{-3+1}\sum_{i=1}^{n}\frac{2t_{i}-5}{t_{i}^{2}}=\frac{1}{-3+1}\int_{-3}^{-1}\frac{2t-5}{t^{2}}\,dt\\\textsf{Dividiendo el numerador entre}\,t^{2}\,\,\textsf{se tiene}\\-\frac{1}{2}\int_{-3}^{-1}\frac{2t}{t^{2}}\,dt+\frac{1}{2}\int_{-3}^{-1}\frac{5}{t^{2}}\,dt=\\-\frac{1}{2}\int_{-3}^{-1}\frac{2}{t}\,dt+\frac{1}{2}\int_{-3}^{-1}\frac{5}{t^{2}}\,dt$

Resolviendo las integrales nos queda:

$\frac{1}{2}(2\int_{-3}^{-1}\frac{1}{t}\,dt-5\int_{-3}^{-1}t^{-2}\,dt)=\\\frac{1}{2}(-2Ln(t)-\frac{5}{t})_{-3}^{-1}=\\\frac{1}{2}\left(Ln(9)+\frac{10}{3}\right)\approx2.76$

Saludos.