Question

Si una ecuación homogénea de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, las funciones M y N son del mismo grado de homogeneidad, puede reducirse a una ecuación de variables separables mediante el uso de una de las sustituciones y=ux,ó,x=vy

Un estudiante decide hacer la sustitución y=ux en la ecuación diferencial (y^2+xy)dx-x^2 dy=0 y obtiene la ecuación de variables separables u^2 du-xdx=0. El proceso anterior es:

a. Verdadero puesto que al reemplazar y=ux y dy=udx+xdu se obtiene
(u^2 x^2+ux^2 )dx-x^2 (udx+xdu)=0 que al simplificarlo da u^2 du-xdx=0

b. Verdadero puesto que al reemplazar y=ux y dx=udy+xdu se obtiene
(u^2 x^2+ux^2 )dx-x^2 (udy+xdu)=0 que al simplificarlo da u^2 du-xdx=0

c. Falso, puesto que al reemplazar y=ux y dy=udx+xdu se obtiene
(u^2 x^2+ux^2 )dx-x^2 (udx+xdu)=0 que al simplificarlo da u^2 dx-xdu=0

d. Falso, puesto que al reemplazar y=ux y dy=udx+xdu se obtiene
(u^2 x^2+ux^2 )dx-x^2 (udx+xdu)=0 que al simplificarlo da u^2 dx+xdu=0

Answer 1

RESPUESTA:

Dada la ecuación diferencial.

(y² + xy) dx - x² dy = 0

Ahora sustituimos los cambios, tenemos:

y = ux por otra parte dy = xdu + udx

Sustituimos y tenemos

[(ux)² + x(ux)] dx - x²(xdu + udx) = 0

Simplificamos:

(ux)²dx + (ux²) dx - x³du + x²udx = 0

(ux)²dx  - x³du = 0

u²x²dx - x³du = 0

Multiplicamos por 1/x², tenemos:

u²dx - xdu = 0

Entonces el falso, ya que al introducir los cambios nos arroja una ecuación que no esta separada.