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Un granjero dispone de 250 m de valla, ¿Cual sera el mayor corral que puede construir?
Hola!!!
Estamos en presencia de un problema de Optimización:
Sabemos que el Perímetro de un Rectángulo: P = 2a + 2L
El Área del Rectángulo: A = a × L
2a +2L = 250
2(a + L) = 250
a + L = 250/2
a + L = 125 ⇒
L = 125 - a
Área Máxima la obtengo con las Derivadas:
A = L × a
A = (125 -a) × a
A = -a² + 125a
Para hallar Máximo o mínimos debo igualar a cero la derivada primera:
A' = (-a² + 125a)' = 0
A' = -2a + 125 = 0
a = -125/-2
a = 62,5 m
L = 125 - a
L = 125 - 62,5
L = 62,5 m
Comprobamos que sea máximo con la Derivada Segunda, sabiendo que:
A" > 0 ⇒ Mínimo
A" < 0 ⇒ Máximo
A' = -2a + 125 ⇒
A" = -2 < 0 ⇒ Máximo ⇒
L = 62,5 m
a = 62,5 m Maximizan el Área
Cuadrado de Lado = 62,5 m
Verifico:
P = 2L + 2a
250 = 2 × 62,5 + 2 × 62,5
250 = 250 Verifica!!!
A = L × a = a²
A = 62,5 × 62,5
Área Máxima = 3906,25 m²
Mayor corral que se puede construir
Saludos!!!