Question

Resuelva paso a paso las siguientes integrales y aplique las propiedades básicas de la integración

Answer 1

Vamos a abrir la expressión del numerador en partes que puedan ser "canceladas" con el denominador:

$\displaystyle I = \int \dfrac{x^5+12x^2-5x}{x^2-2x+5}\,dx\\\\ I \!=\!\! \int \dfrac{x^5+(\overbrace{2x^4-2x^4}^{=0})+(\overbrace{5x^3-4x^3-x^3}^{=0})+(\overbrace{10x^2+2x^2}^{=12x^2})-5x}{x^2-2x+5}\,dx\\\\ I\! =\!\! \int \dfrac{x^5-2x^4+5x^3}{x^2-2x+5}\,dx\!+\!\int \dfrac{2x^4-4x^3+10x^2}{x^2-2x+5}\,dx\!-\!\int \dfrac{x^3-2x^2+5x}{x^2-2x+5}\,dx\\\\ I\! =\!\! \int x^3\,dx\!+\!\int 2x^2\,dx\!-\!\int x\,dx\\\\ {I\! =\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+C}$

Entonces:

$\boxed{\displaystyle \int \dfrac{x^5+12x^2-5x}{x^2-2x+5}\,dx=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac{2x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2}+C}$