Question

Al pie de un tobogán, una pelota es arrojada en la dirección en que el tobogán aumenta su altitud. La pelota sigue una trayectoria dada por la expresión:

h=5t-1/4 t^2

Donde h es la altura alcanzada por la pelota y t el tiempo que la pelota lleva en el aire.

Si la pendiente del tobogán vale ½, ¿a qué distancia de donde fue arrojada caerá la pelota sobre el tobogán?

Answer 1

Cuando la pelota sale despedida del tobogán, esta lleva una Velocidad inicial, la cual tiene 2 componentes, horizontal(x) y vertical(y), la velocidad vertical varia con el tiempo, pero la velocidad horizontal es constante, conocemos la pendiente del tobogán, por lo tanto conocemos el angulo al cual sale despedida la pelota: $Tan\,\theta=\frac{1}{2}$

Con esto tambien podemos conocer el valor de la velocidad horizontal $V_x$:

$V_{0_y}=V_0Sen\,\theta\\V_x=V_0Cos\,\theta\\ \\Tan\,\theta=\frac{1}{2}\\ \\\frac{V_{0_y}}{V_x}=Tan\,\theta=\frac{1}{2}\\ \\V_x=2V_{0_y}$

Para conocer el valor de la velocidad inicial vertical utilizamos la ecuación de movimiento que es proporcionada, con ese dato se obtiene la velocidad horizontal:

$h(t)=5t-\frac{1}{4}t^2\\ \\\text{Derivamos para obtener la velocidad y evaluamos en la condicion inicial t=0}\\ \\V_y(t)=\frac{d}{dt}(5t-\frac{1}{4}t^2)=5-\frac{1}{2}t\\ \\V_y(0)=V_{0_y}=5-\frac{1}{2}(0)=5\\ \\V_x=2V_{0_y}=2(5)\\ \\ \underline{V_x=10}$

Ahora buscamos cuanto tiempo le toma a la pelota alcanzar su recorrido máximo, o sea cuando vuelve a alcanzar la altura vertical que tiene la salida del tobogán:

$h(t)=5t-\frac{1}{4}t^2=0\\ \\t(5-\frac{1}{4}t)=0\\ \\t_a=0,\quad t_b=20$

el primer valor del tiempo es equivalente al inicio del recorrido, estamos interesados en el otro valor del tiempo, t=20

Ahora se puede responder la pregunta de a que distancia fue arrojada:

$d_x=V_xt=10(20)\\ \\d_x=200$