Question

Hola, me podrían ayudar con este problema? 10 puntos

Answer 1

DATOS:

 (5 + 3*cos4x) /(cos⁴x -sen²x*cos²x + sen⁴x) =?

SOLUCIÓN:

 Para resolver el ejercicio se procede a simplificar mediante la aplicación de formulas trigonométricas y factorización de cubos perfectos, de la siguiente manera :

     a³  + b³ = (a + b)*( a² -a*b +b²)

  siendo a = cos²x

              b = sen²x

 ( cos²x)³ + (sen²x)³ = ( cos²x + sen²x )*( (cos²x)² - cos²x*sen²x +((sen²x))²

  cos⁶x + sen⁶x = ( cos²x + sen²x)*( cos⁴x - cos²x* sen²x + sen⁴x)

despejando:

  cos⁴x - cos²x*sen²x + sen⁴x= ( cos⁶x + sen⁶ x)/( cos²x + sen²x )

 siendo:          sen²x + cos²x = 1

   Entonces, queda :

   cos⁴x  -  cos²x * sen²x + sen⁴x = cos⁶x + sen⁶x

 y también :  cos 4x = cos (2*(2x)) = cos²2x - sen²2x = (  1 -sen²2x -sen²2x)

                                 =( 1-2*sen²2x) = 1- 2*( 2*senx*cosx)²

                                 = 1- 8* sen²x*cos²x .

 = ( 5  +    3 * ( 1 - 8 *sen²x*cos²x) /(cos⁶x +sen⁶x)

 = ( 5 +3 - 24*sen²x*cos²x)/( cos⁶x+ sen⁶x)

 = ( 8 - 24*sen²x * cos²x )/( cos⁶x + sen⁶ x)

 = 8*( 1  -  3* sen²x*cos²x )/( cos⁶x +sen⁶x)