Question

como le simplifico esta expresión (procedimiento)
1/(a-b)(a-c)+1/(b-c)(b-a)+1/(c-a)(c-b)

Answer 1

$\frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(b-a)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)}$

mediante un "artificio", porque me alboroto con tantas variables :)

Hacemos: a-b = x  → b-a = -(a-b)= -x
                a-c = y  → c-a = -(a-c) = -y
                b-c = z  → c-b = -(b-c) = -z
              
reemplazando tendremos:

$\frac{1}{(x)(y)} + \frac{1}{(z)(-x)} + \frac{1}{(-y)(-z)} = \frac{1}{xy} + \frac{1}{-xz} + \frac{1}{yz}$

Ahora bien, por comodidad yo quiero tener una suma de fracciones homogéneas así que haré el denominador de todas las fracciones  "xyz" . Ten en cuenta que si multiplicamos y dividimos a un número por una misma cantidad la igualdad se conserva! , en base a esto tendremos que:

            • $\frac{1}{xy} = ( \frac{1}{xy} )( \frac{z}{z} ) = \frac{z}{xyz}$

            • $\frac{1}{-xz} = ( \frac{1}{-xz} )( \frac{-y}{-y} ) = \frac{-y}{xyz}$

            • $\frac{1}{yz} = ( \frac{1}{yz} )( \frac{x}{x} ) = \frac{x}{xyz}$

reemplazando:

$\frac{z}{xyz} + \frac{-y}{xyz} + \frac{x}{xyz} = \frac{x-y+z}{xyz}$

Ahora, no te olvides que:

 x = a-b  ,  y = a-c  , z = b - c

Entonces:  x - y + z = (a-b) - (a-c) + (b-c) = a - b - a + c + b - c
                 x - y + z = (a-a) + (-b+b) + (c-c)
                 x - y + z = 0

Así: 

$\frac{x-y+z}{xyz} = \frac{0}{xyz} = 0$

Es decir:

$\boxed{\frac{1}{(a-b)(a-c)} + \frac{1}{(b-c)(b-a)} + \frac{1}{(c-a)(c-b)} = 0}$

[ típico, tanto esfuerzo y al final bien te sale 0 ó 1 :D ]

Y eso fue todo!  Saludos! Jeyson(Jmg)