Respuestas
A la hora de evaluar y simplificar exponentes, utilizamos las Leyes de los Exponentes, una serie de reglas que nos sirven para hallar el valor de una expresión más rápidamente. Cuando se multiplican dos factores con las bases iguales, su producto será esa base elevada a la suma de las potencias .
Las leyes de los exponentes
A la hora de evaluar y simplificar exponentes, utilizamos las Leyes de los Exponentes, una serie de reglas que nos sirven para hallar el valor de una expresión más rápidamente.
Ley #1:
am×an=am+n
Ilustración #1:
64 ×62
64=6×6×6×6
62=6×6
64 ×62=(6×6×6×6)(6×6)=(6×6×6×6×6×6)=66
Por tanto,
64 ×62=64+2=66
Ilustración #2:
a3 ×a5
a3=a×a×a
a5=a×a×a×a×a
a3×a5=(a×a×a)(a×a×a×a×a)=(a×a×a×a×a×a×a×a)=a8
Por tanto,
a3 ×a5=a3+5=a8
Ley #2:
(a×b)n=an×bn
Ilustración #1:
(4×5)3
Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:
(4×5)3=(4×5)×(4×5)×(4×5)
Ahora, agrupamos términos semejantes:
=(4×4×4)×(5×5×5)
Finalmente, por la definición de exponente:
=43×53
Ilustración #2:
Primero, usamos la definición de exponente para dispersar los dos factores:
(c×d)4=(c×d)×(c×d)×(c×d)×(c×d)
Ahora, agrupamos términos semejantes:
=(c×c×c×c)×(d×d×d×d)
Finalmente, por la definición de exponente:
=c4×d4=c4d4
Ley #3:
(ab)n=anbn
Ilustración #1:
(75)3
Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:
(75)3=(75)×(75)×(75)
Ahora, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador:
=7×7×75×5×5
Finalmente, aplicamos la definición de exponente:
=7353
Ilustración #2:
(pq)5
Primero, usamos la definición de exponente para dispersar el cociente:
(pq)5=(pq)×(pq)×(pq)×(pq)×(pq)
Ahora, agrupamos términos semejantes, tanto del numerador, como del denominador:
=p×p×p×p×pq×q×q×q×q
Finalmente, aplicamos la definición de exponente:
=p5q5
Ley #4:
(an)m=an×m
Ilustración #1:
(32)5
Expandemos 32:
(32)5=(3×3)5
Entonces, expandemos (3×3)5
(3×3)5=(3×3)×(3×3)×(3×3)×(3×3)×(3×3)
=3×3×3×3×3×3×3×3×3×3
Aplicando la definición de exponente:
=310
Ilustración #2:
(d4)2
Expandemos d4:
(d4)2=(d×d×d×d)2
Entonces, expandemos (d×d×d×d)2
(d×d×d×d)2=(d×d×d×d)×(d×d×d×d)
=d×d×d×d×d×d×d×d
Aplicando la definición de exponente:
=d8
Ley #5:
aman=am-n
a≠0
Ilustración #1:
3632
Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente:
3632=3×3×3×3×3×33×3
Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.
3×3×3×3×3×33×3=3×3×3×31=3×3×3×3
Finalmente, por la definición de exponente:
3×3×3×3=34
Ilustración #2:
r9r8
Expandemos tanto el numerador como el denominador, por la definición de exponente:
r9r8=r×r×r×r×r×r×r×r×rr×r×r×r×r×r×r×r
Entonces eliminamos bases semejantes (simplificamos) hasta que el numerador o el denominador se quede igual a 1.
r×r×r×r×r×r×r×r×rr×r×r×r×r×r×r×r=r1=r
Ley #6:
a0=1
a≠0
Ilustración:
Por la Ley #5, sabemos que
a2a2=a2-2=a0
También sabemos que :
a2a2=a×aa×a=1
Por tanto,
a0=1
Ley 7
a-n=1an
a≠0
Ilustración:
a-3
Por la Ley #5 sabemos que
a2a5=a2-5=a-3
También sabemos que:
a2a5=a×aa×a×a×a×a=1a3
Asi
a-3=1a3