formamos un octaedro
uniendo entre si consecutivamente
los puntos medios de las caras
de un cubo , de la manera que se
indica en la figura
¿que fracción del volumen del cubo queda ocupado por el octaedro?
Respuestas
Tarea:
Formamos un octaedro uniendo entre si consecutivamente los puntos medios de las caras de un cubo, de la manera que se indica en la figura
¿Qué fracción del volumen del cubo queda ocupado por el octaedro?
Respuesta:
Una sexta parte del cubo es el volumen que ocupa el octaedro.
Explicación paso a paso:
Primero hay que fijarse en que el octaedro no es otra cosa que dos pirámides cuadrangulares regulares (de base cuadrada) unidas por esa base.
Para llegar a la respuesta hay que relacionar los dos volúmenes (cubo y octaedro) mediante un dato común y este será la arista del cubo que, si te fijas en la figura adjunta que modifica la tuya, sería la arista del cubo AB la cual llamaré "x", que es igual a la diagonal del cuadrado que forma las bases de las pirámides.
Calcularemos en función de esa "x" el volumen del cubo que no será otro que elevar "x" al cubo puesto que se trata de su arista.
Así pues: Volumen del cubo = x³
Vamos ahora con el octaedro y para obtener su volumen lo que hago es hallar el volumen de una de las pirámides y, como son iguales, duplicar el resultado.
El volumen de cualquier pirámide es el producto de un tercio del área de la base por la altura CE, que fíjate que es la mitad de la diagonal y puedo representarla como (x/2), por tanto, como tengo dos pirámides iguales, su volumen será dos tercios de la base por la altura CE.
El área de la base se puede calcular multiplicando la diagonal AB que he dado en llamar "x", de ese cuadrado por la altura CD que es la mitad de la diagonal con lo que obtengo el área de uno de los triángulos y luego la duplico para saber el área del cuadrado.
Como ya he deducido el volumen del octaedro que es:
Y con este resultado podemos afirmar que el volumen ocupado por el octaedro es una sexta parte del volumen del cubo.
Saludos.
